已知点 $A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，点 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{6}=1$ 上一点，线段 $PA,PB$ 分别交椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$ 于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$，若 $\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{MN}$，则 $\lambda=$_____．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，$P$ 为椭圆上一动点，$O$ 为坐标原点，若椭圆上点 $M,N$ 满足 $OM\parallel AP$ 且 $ON\parallel BP$，求证：$\triangle OMN$ 的面积是定值．
设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|A B|=\sqrt{10}$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP|\cdot |AR|=3$．
① 设 $P(m,n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）；
② 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的 $3$ 倍，求 $|PQ|$ 的最大值．
$P$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 上一动点，过 $P$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的两条切线分别交椭圆于 $A,B$ 两点，再过 $A,B$ 分别作圆 $O$ 的另一条切线 $AQ,BQ$，它们交于点 $Q$．
1、求动点 $Q$ 的轨迹方程．
2、求四边形 $PAQB$ 的面积的取值范围（保留到小数点后 $4$ 位）．
已知点 $B(-2,-1)$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 内一点，过点 $A(-8,0)$ 作直线 $l$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，直线 $P B$ 与椭圆交于另一点 $N$，证明：直线 $Q N$ 过定点．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过定点 $P(4,4)$ 作椭圆的两条切线，切点分别为 $A,B$（点 $A$ 在第二象限），过 $P$ 的直线交椭圆于 $D,E$ 两点（$P,D,E$ 顺次），过 $D$ 作 $PA$ 的平行线分别交直线 $AB,AE$ 于 $G,F$，求证：$G$ 为 $DF$ 中点．
已知 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，过定点 $P(1,0)$ 的直线交椭圆于 $M,N$ 两点，$R$ 为 $MN$ 中点，$O$ 为坐标原点，直线 $OR$ 交直线 $x=4$ 于点 $Q$，直线 $BN,AM,PQ$ 的斜率分别为 $k_{BN},k_{AM},k_{PQ}$，求证：$k_{BN}\left(k_{AM}-k_{PQ}\right)$ 为定值．
已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，过定点 $P(-1,2)$ 的直线交双曲线于 $M,N$ 两点，$O$ 为坐标原点，直线 $OP$ 交直线 $BN$ 于点 $C$，求证：直线 $AC,AM$ 的斜率之积为定值．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上关于原点 $O$ 对称的两点 $A(2,1),B(-2,-1)$，直线 $CD$ 过定点 $P(1,-2)$，直线 $BC,AD$ 的斜率分别记为 $k_1,k_2$，求证：$k_1k_2-2k_1$ 为定值．
已知 $\triangle ABC$ 的内切圆为单位圆 $O$，且 $A(t,-1),B(t+5,-1)$，其中 $t\in [-4,-1]$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最小值为_____．
