Math173

2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #13

已知 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$，外心为 $O$，$OG\parallel BC$，则 $\tan B\tan C=$ _____．

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #11

平面直角坐标系 $x Oy$ 中，已知圆 $O_1:(x+2)^2+y^2=1$，圆 $O_2: x^2+y^2=1$，圆 $O_3:(x-2)^2+y^2=1$．集合 $A_d$ 表示当 $O_1,O_2,O_3$ 到直线 $l$ 的距离之和为 $d$ 时，$l$ 与圆 $O_1,O_2,O_3$ 可能的总公共点个数，则（       ）

A．$A_1=\{4,5,6\}$

B．$A_2=\{3,4,5,6\}$

C．$A_3=\{2,3,4\}$

D．$A_4=\{0,1,2,3\}$

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #10

已知 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f^{\prime}(x)>3 x^2$，则（       ）

A．$f(x)>x^3$

B．$f(1)-f(-1)>2$

C．$f(x)$ 有且仅有一个零点

D．$f(x)+x\left(f^{\prime}(x)\right)^2$ 至少有一个零点

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #9

记 $f(x)=A_{1} \sin \left(\omega_{1} x+\varphi_{1}\right)$，$ g(x)=A_{2} \sin \left(\omega_{2} x+\varphi_{2}\right)$（$A_{1}, A_{2}, \omega_{1}, \omega_{2},\varphi_1,\varphi_2>0$）所有零点分别构成集合 $S_{1}, S_{2}$，二者的所有公共点横坐标构成集合 $S_{3}$，已知 $S_{2}=S_{3}$，$S_{1} \neq S_{2}$，且 $f(x),g(x)$ 没有相同的极值点，则（       ）

A．$S_{2} \varsubsetneqq S_{1}$

B．$\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \in \mathbb{N}$

C．$\dfrac{\varphi_{1}}{\varphi_{2}} \in \mathbb{Q}$

D．$A_{1} \omega_{1} \leqslant A_{2} \omega_{2}$

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #8

若存在 $a>0$ 和定义在 $\mathbb{R}$ 上的 $f(x)$，使得 $f(x+a)=a f(x), f(x) \geqslant b^{x}$，则 $b$ 的最大值为（       ）

A．$\mathrm e$

B．$\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$

C．$\dfrac{1}{\mathrm{e}}$

D．${\mathrm e}^{\mathrm e}$

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已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\ln \left(\mathrm e^{a_n}-1\right)-\ln a_n$，则（       ）

A．$\mathrm e^{a_2}=\mathrm e-1$

B．$a_{n+1}>a_n$

C．$ a_2<4 a_4$

D．$a_{2026}>\dfrac{1}{2025}$

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #7

已知 $\log _{2} x+\log _{3} y=2 \log _{6}(x y)$，则下列关系一定不正确的是（       ）

A．$1<x<y$

B．$y<x<1$

C．$y>x+1$

D．$x>y+1$

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #5

已知 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$，$\beta \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，$ \sin \alpha \tan \beta=1$，则 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的最小值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

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2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #4

已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 和双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ 且 $e_{1} e_{2}=1$，则 $e_{1}=$ （       ）

A．$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

B．$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

C．$\dfrac{1}{3}$

D．$\dfrac{2}{3}$

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已知以下事实：反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．

1、求函数 $y=\dfrac{1}{2 x}$ 的图象 $C_0$ 的实轴长；

2、将曲线 $C_0$ 绕原点顺时针转 $\dfrac{\pi}{4}$，得到曲线 $C$．

① 写出曲线 $C$ 的方程．

② 已知点 $A$ 是曲线 $C$ 的左顶点，圆 $E:(x-1)^2+(y-1)^2=r^2$（$r>0$）与直线 $l: x=1$ 交于 $P,Q$ 两点，直线 $A P,A Q$ 分别与双曲线 $C$ 交于 $M,N$ 两点，试问：点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时 $r$ 的值；若不存在，说明理由．

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