2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #20
已知椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，右顶点为 $(2,0)$． 求
1、椭圆 $E$ 的方程；
2、过原点 $O$ 且与 $y$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $M, N$ 两点．已知点 $P(0,2)$，直线 $PM, PN$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点分别为 $A, B$．证明：直线 $AB$ 过定点．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 6}3,\\ a=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ b=\dfrac{2}{\sqrt 3},\end{cases}\]因此椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{3y^2}4=1$．
2、根据有心二次曲线的 $A$ 字旋转张角模型结论 $^{[1]}$，直线 $AB$ 过定点 $(0,s)$，其中\[s=\dfrac{2\cdot 2}{1+\dfrac 34\cdot 2^2}=1.\]
备注 $[1]$ 对有心二次曲线 $\Gamma:mx^2+ny^2=1$（$m>0$），$A,B$ 是 $\Gamma$ 上关于其中心对称的两动点，过 $x$ 轴上定点 $T(t,0)$ 作直线 $TA,TB$ 分别交 $\Gamma$ 于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，则 $CD$ 过定点 $S(s,0)$，且 $s=\dfrac{2t}{1+mt^2}$．