2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #10
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是无穷数列，若存在正整数 $k$ 使得对任意 $n \in \mathbb{N}^{*}$，均有 $a_{n+k}<a_{n}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列，其中 $k$ 称为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的间隔数．下列结论中正确的有（ ）
A．若 $a_{n}=\dfrac{9}{n}$，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列
B．若 $a_{n}=n\cdot (-2)^{n+1}$，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列
C．若 $a_{n}=-\dfrac{n}{2}+\sin n$，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔递减数列且 $\left\{a_{n}\right\}$ 的间隔数的最小值是 $4$
D．以上结论均不正确
答案 AC．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，$\{a_n\}$ 是单调递减数列，是间隔数为 $1$ 的间隔递减数列，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，考虑\[a_{n+k}<a_n\iff (n+k)\cdot (-2)^{n+k}<n\cdot (-2)^n,\]取 $n=k$，则左边为 $2k\cdot 2^{2k}$，右边为 $k\cdot (-2)^k$，不满足上述不等式，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，考虑\[a_{n+k}<a_k\iff -\dfrac{n+k}2+\sin(n+k)<-\dfrac n2+\sin n\iff \sin(n+k)-\sin n<\dfrac k2,\]利用和差化积公式，有\[2\cos\left(n+\dfrac k2\right)\sin \dfrac k2<\dfrac k2,\]当 $k=4$ 时，上述不等式即\[2\cos(n+2)\sin 2<2,\]恒成立，因此 $\left\{a_{n}\right\}$ 是间隔数为 $4$ 的间隔递减数列，而当 $k=3$ 时，上述不等式即\[ 2\cos\left(n+\dfrac 32\right)\sin\dfrac 32<\dfrac 32,\]考虑到 $\dfrac{\frac 32}{2\sin\frac 32}=\dfrac{0.75}{\sin 1.5}<1$，因此总存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $n+\dfrac 32$ 足够靠近 $2\pi$ 的整数倍 $^{[1]}$，使得上述不等式不成立，因此 $\left\{a_{n}\right\}$ 不是间隔数为 $3$ 的间隔递减数列，选项正确；
综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．
备注 $[1]$ 这是因为 $\pi$ 是无理数，且 $n=5$ 就是满足条件的值，也为第一个满足条件的值．