2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #14
已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，且 $|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=3$，$|\overrightarrow{OC}|=4$，设 $\theta$ 为向量 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ 的夹角，则 $\cos \theta=$ _____；$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}=$ _____．
答案 $\dfrac 14$；$-4$．
解析 根据题意，有\[-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\implies |OC|^2=|OA|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+|OB|^2\implies \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow {OB}=\dfrac 32,\]进而可得 $\cos\theta=\dfrac 14$．而\[\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}\cdot \left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow{OC}\right)=-|OA|^2=-4.\]
解法2：延长CO到点D，使得OD=OC，记角BDO=角AOD=$\alpha$，角ADO=角BOD=$\beta$，则在三角形ADO和三角形BDO中，分别用余弦定理，有：
$$cos(\beta)=\frac{3^2+4^2-2^2}{2\times 3 \times 4}=7/8$$，
$$cos(\alpha)=\frac{4^2+2^2-3^2}{2\times 4 \times 2}=11/16$$。
由于角$\alpha$和角$\beta$都$\in [0,\pi]$，
因此，$sin(\alpha)=\frac{\sqrt{15}}{8}$，$sin(\beta)=\frac{3 \times \sqrt{15}}{16}$，
于是，$cos(\theta)=cos(\alpha + \beta)=cos(\alpha) cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)=1/4$。