2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #8
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$，$f(1)=-2$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2024} f(k)=$ （ ）
A．$-4$
B．$4$
C．$0$
D．$-2$
答案 A．
解析 在 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$ 中，令 $y\to 0$，可得\[2f(x)=\dfrac 12f(0)\cdot f(x),\]而 $f(1)=-2$，于是 $f(x)$ 不恒为 $0$，从而 $f(0)=4$． 在 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$ 中，令 $y\to 1$，可得\[f(x+1)+f(x-1)=\dfrac 12f(1)\cdot f(x)\implies f(x+1)=-f(x)-f(x-1),\]而 $f(0)=4$，$f(1)=-2$，建立递推，得到\[ f(k)_{k=0}^{+\infty}:\underbrace{4,-2,-2},\underbrace{4,-2,-2},\cdots,\]因此\[\sum\limits_{k=1}^{2024} f(k)=f(1)+f(2)=-4.\]