2025年上海市春季高考数学试卷 #21
已知函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$．对于 $t \in D$，定义集合 $S_{f(t)}=\{x \mid f(x) \geqslant f(t)\}$．
1、$f(x)=\log _2 x$，求 $S_{f(16)}$；
2、对于集合 $A$，若对任意 $x \in A$ 都有 $-x \in A$，则称 $A$ 是对称集．若 $D$ 是对称集，证明：函数 $y=f(x)$ 是偶函数的充要条件是对任意 $t \in D$，$S_{f(t)}$ 是对称集；
3、已知 $m$ 是实数，若 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} m x^2$（$x \in \mathbb{R}$）满足对于任意 $t_1,t_2 \in D$ 且 $t_1<t_2$，都有 $S_{f\left(t_2\right)} \subseteq S_{f\left(t_1\right)}$，求 $m$ 的取值范围．
解析
1、根据题意，有\[S_{f(16)}=\{x\mid \log_2x\geqslant \log_2{16}\}=\{x\mid x\geqslant 16\}.\]
2、必要性 若函数 $y=f(x)$ 是偶函数，则对任意 $t\in D$，若 $m\in S_{f(t)}$，则\[f(m)\geqslant f(t)\implies f(-m)\geqslant f(t)\implies -m\in S_{f(t)},\]于是必要性得证．
充分性 用反证法，若存在 $x_0\in D$，使得 $f(x_0)\ne f(-x_0)$，不妨设 $f(x_0)>f(-x_0)$，则\[x_0\in S_{f(x_0)},\quad -x_0\notin S_{f(x_0)},\]这与对任意 $t \in D$，$S_{f(t)}$ 是对称集矛盾，于是函数 $y=f(x)$ 是偶函数．
综上所述，原命题得证．