每日一题[2118]大胆放缩

已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\left|\overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|=1$,$\left|3\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|$,则 $-3\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2+\left|\overrightarrow c\right|^2$ 的最小值是[[nn]];此时 $\left|\overrightarrow c\right|=$_______.

答案    $\dfrac{\sqrt 5-3}2$;$\sqrt[4]5$

解析    设 $\left|\overrightarrow b\right|=x$,$\left|\overrightarrow c\right|=\dfrac 1x$,则\[3\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow b\right|-\left|\overrightarrow c\right|\leqslant \left|3\overrightarrow a-\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=\left|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|\leqslant \left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|\cdot \left|\overrightarrow c\right|,\]于是\[3\left|\overrightarrow a\right|-x-\dfrac 1x\leqslant \left|\overrightarrow a\right|\implies \left|\overrightarrow a\right|\leqslant \dfrac 12\left(x+\dfrac 1x\right),\]从而\[-3\left|\overrightarrow a\right|^2+2\left|\overrightarrow b\right|^2+\left|\overrightarrow c\right|^2\geqslant -\dfrac 34\left(x+\dfrac 1x\right)^2+2x^2+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac 54x^2+\dfrac{1}{4x^2}-\dfrac 32\geqslant \dfrac{\sqrt 5-3}2,\]等号当且仅当 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 同向且模长分别为 $\dfrac 12\left(\sqrt[4]5+\dfrac{1}{\sqrt[4]5}\right),\dfrac{1}{\sqrt[4]5},\sqrt[4]5$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 5-3}2$.此时 $\left|\overrightarrow c\right|=\sqrt[4]5$.

 

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论