设 $A(2,0)$ 为平面上的一定点，$P(\sin(2t-60^\circ),\cos(2t-60^\circ))$ 为动点，则当 $t$ 由 $15^\circ$ 变到 $45^\circ$ 时，线段 $AP$ 所扫过的图形的面积是_______．
答案 $\dfrac{\pi}6$．
解析 根据题意，$P$ 点轨迹是从 $P_1\left(\dfrac{2\pi}3:1\right)$ 到 $P_2\left(\dfrac{\pi}3:1\right)$ 的圆弧，因此线段 $AP$ 所到过的图形即图中阴影部分．
考虑到 $\triangle P_1OA$ 与 $\triangle P_2OA$ 的面积相同，因此曲边三角形 $AP_1P_2$ 的面积与扇形 $OP_1P_2$ 的面积相同，为 $\dfrac{\pi}6$．
已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）通过点 $(2,1)$，则这些椭圆上满足 $\mid y\mid>1$ 的点的集合用阴影表示是下面图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
平面上有三个点集 $M,N,P$：\[\begin{split} M&=\{(x,y)\mid |x|+|y|<1\},\\ N&=\{(x,y)\mid \left\{\sqrt{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2}<2\sqrt 2\right\},\\ P&=\{(x,y)\mid |x+y|<1,|x|<1,|y|<1\},\end{split}\]则（ ）
A．$M\subsetneqq P\subsetneqq N$
B．$M\subsetneqq N\subsetneqq P$
C．$P\subsetneqq P\subsetneqq M$
D．以上答案均不正确
现有边长为 $3,4,5$ 的三角形两个，边长分别为 $4,5,\sqrt{41}$ 的三角形四个，边长分别为 $\dfrac{5\sqrt 2}6,4,5$ 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_______个不同的四面体．
已知集合 $A=\big\{(x,y)\mid |x|+|y|=a,a>0\big\}$，$B=\big\{(x,y)\mid |xy|+1=|x|+|y|\big\}$．若 $A\cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 $a$ 的值为_______．
设非零复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足\[\begin{cases} \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{a_5}{a_4},\\ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=4\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\dfrac 1{a_3}+\dfrac 1{a_4}+\dfrac 1{a_5}\right)=S,\end{cases}\]其中 $S$ 为实数且 $|S|\leqslant 2$．求证：复数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
设双曲线 $xy=1$ 的两支为 $C_1,C_2$，其中 $C_1$ 位于第一象限，$C_2$ 位于第三象限，正 $\triangle PQR$ 的三顶点位于此双曲线上．
1、求证：$P,Q,R$ 不能都在双曲线的同一支上．
2、设 $P(-1,-1)$ 在 $C_2$ 上，$Q,R$ 在 $C_1$ 上，求顶点 $Q,R$ 的坐标．
设 $f(x)=x^2-\pi x$，$\alpha=\arcsin\dfrac 13$，$\beta=\arctan\dfrac 54$，$\gamma=\arccos\left(-\dfrac 13\right)$，$\delta=\mathop{\rm arccot}\left(-\dfrac 54\right)$，则（ ）
A．$f(\alpha)>f(\beta)>f(\delta)>f(\gamma)$
B．$f(\alpha)>f(\delta)>f(\beta)>f(\gamma)$
C．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\beta)>f(\gamma)$
D．$f(\delta)>f(\alpha)>f(\gamma)>f(\beta)$
已知抛物线 $y^2=2px$ 及定点 $A(a,b)$，$B(-a,0)$（$ab\ne 0$，$b^2\ne 2pa$），$M$ 是抛物线上的点，设直线 $AM,BM$ 与抛物线的另一交点分别为 $M_1,M_2$，求证：当点 $M$ 在抛物线上变动时（只要 $M_1,M_2$ 存在且 $M_1\ne M_2$），直线 $M_1M_2$ 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
已知当 $x\in[0,1]$ 时，不等式 $x^2\cos\theta-x(1-x)+(1-x)^2\sin\theta>0$ 恒成立，试求 $\theta$ 的取值范围．
