设曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a$ 为正的常数）与 $C_2:y^2=2(x+m)$ 在 $x$ 轴上方有一个公共点 $P$．
1、求实数 $m$ 的取值范围（用 $a$ 表示）．
2、$O$ 为原点，若 $C$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$，当 $0<a<\dfrac 12$ 时，试求 $\triangle OAP$ 的面积的最大值（用 $a$ 表示）．
每日一题[1768]平移图形
设二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a,b,c\in\mathbb R$，$a\ne 0$）满足条件：
① 当 $x\in\mathbb R$ 时，$f(x-4)=f(2-x)$，且 $f(x)\geqslant x$；
② 当 $x\in(0,2)$ 时，$f(x)\leqslant \left(\dfrac{x+1}2\right)^2$；
③ $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $0$．
求最大的 $m$，使得存在 $t\in\mathbb R$，只要 $x\in[1,m]$，就有 $f(x+t)\leqslant x$．
每日一题[1767]反向柯西
若 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$，则 $|x|-|y|$ 的最小值为_______．
每日一题[1766]小螃蟹
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定三点 $A\left(0,\dfrac 43\right)$，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离是该点到直线 $AB,AC$ 的距离的等比中项．
1、求点 $P$ 的轨迹方程．
2、若直线 $l$ 经过 $\triangle ABC$ 的内心（设为 $D$），且与点 $P$ 的轨迹恰好有 $3$ 个公共点，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围．
每日一题[1765]迭代函数
设 $f(x)=x^2+a$，记 $f^{1}(x)=f(x)$，$f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))$（$n=2,3,\cdots$），$M$ 为使得对任意正整数 $n$ 均有 $\left|f^{(n)}(0)\right|\leqslant 2$ 成立的实数 $a$ 的取值集合．求证：$M=\left[-2,\dfrac 14\right]$．
每日一题[1764]格点计算
将号码分别为 $1,2,\cdots,9$ 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为 $a$，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为 $b$，则使不等式 $a-2b+10>0$ 成立的事件发生的概率等于_______．
每日一题[1763]有理解
方程组 $\begin{cases}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0,\end{cases}$ 的有理数解 $(x,y,z)$ 的个数为_______．
每日一题[1761]转换条件
设直线 $l:y=kx+m$（其中 $k,m$ 为整数）与椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $A,B$，与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $C,D$，问是否存在直线 $l$，使得向量 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=0$，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
答案 $9$条．
解析 题意即弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，记中点为 $M$．
情形一 $k=0$．此时直线 $l$ 与 $x$ 轴平行，于是 $m^2<12$ 且根据椭圆和双曲线的对称性，必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，因此 $(k,m)=(0,-3),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3)$ 是符合题意的 $7$ 组解．
情形二 $k\ne 0$ 且 $m=0$．此时直线 $l$ 经过坐标原点 $O$，于是 $k^2<3$ 且根据椭圆和双曲线的对称性，必然有弦 $AB$ 的中点与弦 $CD$ 的中点重合，因此 $(k,m)=(-1,0),(1,0)$ 是符合题意的 $2$ 组解．
情形三 $k\ne 0$ 且 $m\ne 0$．此时根据椭圆和双曲线垂径定理，直线 $OM,AB,CD$ 的斜率 $k_{OM},k_{AB},k_{CD}$ 满足\[\begin{cases} k_{AB}\cdot k_{OM}=-\dfrac 34,\\ k_{CD}\cdot k_{OM}= 3,\end{cases}\]这与 $k_{AB}=k_{CD}$ 矛盾，因此不存在符合题意的解．
综上所述，符合题意的直线共有 $9$ 条．
每日一题[1760]层峦叠嶂
一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 $100$ 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是_______（可以用指数表示）．