求所有的正整数 $n$（$n\geqslant 3$），存在 $n$ 个连续的正整数，其中最大的数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的因数．
设函数 $f(x)=x{\rm e}^x-ax+a$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
设 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，$m>n$，证明：$[m,n]+[m+1,n+1]>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$．
在区间 $\left[100,999\right]$ 上，调换数位的排列顺序后可被 $11$ 整除（如 $121$ 和 $211$）的数的个数为_______．
$A,B,C,D,E$ 五人排成一排，$A$ 不与 $B$ 和 $C$ 相邻，$D$ 不与 $E$ 相邻，不同排法种数为_______．
如果一个正整数为个位数，或它的每一位上的数都小于（或都大于）它右边一位上的数字，我们就称它为单调数．例如 $3,23578,87620$ 都是单调数，但是 $88,7434,23557$ 不是单调数，则所有单调数的个数为_______．
有限数列 ${A_n}:{a_1},{a_2}, \cdot \cdot \cdot ,{a_n}$（$n \geqslant 3$）同时满足下列两个条件： ① 对于任意的 $i,j$（$1 \leqslant i < j \leqslant n$），${a_i} < {a_j}$； ② 对于任意的 $i,j,k$（$1 \leqslant i < j < k \leqslant n$），${a_i}{a_j}$，${a_j}{a_k}$，${a_i}{a_k}$ 三个数中至少有一个数是数列 ${A_n}$ 中的项．
1、若 $n = 4$，且 ${a_1} = 1$，${a_2} = 2$，${a_3} = a$，${a_4} = 6$，求 $a$ 的值．
2、证明：$2,3,5$ 不可能是数列 ${A_n}$ 中的项．
3、求 $ n $ 的最大值．
令 $\lfloor x \rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则关于 $x$ 的方程 $x^2 + 10000\lfloor x \rfloor = 10000x$ 的实数解个数为_______．
$\tt Joey,Chloe$ 和他们的女儿 $\tt Zoe $ 同一天生日，$\tt Joey$ 比 $\tt Chloe$ 大一岁，$\tt Zoe$ 今天刚好一岁．若今天是 $\tt Chloe$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍，且此情形在今后还会发生 $8$ 次，那么下一次 $\tt Joey$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍时，$\tt Joey$ 的年龄的各位数字之和为_______．
不大于 $\dfrac{3^{100}+2^{100}}{3^{96}+2^{96}}$ 的最大整数为_______．
