每日一题[1816]一岁之差天壤之别

$\tt Joey,Chloe$ 和他们的女儿 $\tt Zoe $ 同一天生日,$\tt Joey$ 比 $\tt Chloe$ 大一岁,$\tt Zoe$ 今天刚好一岁.若今天是 $\tt Chloe$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍,且此情形在今后还会发生 $8$ 次,那么下一次 $\tt Joey$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍时,$\tt Joey$ 的年龄的各位数字之和为_______.

答案    $11$.

解析    设 $\tt Chloe$ 今天 $n$ 岁,则\[n+x=y(1+x)\]有 $9$ 组自然数解 $(x,y)$.该方程即\[n-1=(x+1)(y-1),\]由于有奇数个约数的数为完全平方数,因此尝试可得 $n-1=36$,且对应的 $9$ 组解为\[(x+1,y-1)=(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1).\]因此今年 $\tt Joey$ $38$ 岁,与之前的分析类似,对应的解为\[(x+1,y-1)=(1,37),(37,1),\]因此下一次 $\tt Joey$ 的年龄是 $\tt Zoe$ 年龄的整数倍时,$\tt Joey$ 的年龄是 $74$ 岁($\tt Zoe$ 的年龄是 $37$ 岁),所求和为 $11$.

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