2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #18
已知点 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，动点 $T$ 满足 $\left|TF_1\right|+\left|TF_2\right|=4$，动点 $T$ 的轨迹记为 $C$．
1、求 $C$ 的方程：
2、直线 $l: x=4$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，$B$ 为 $l$ 上的动点，过 $B$ 作 $C$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于点 $P,Q$．
① 证明：直线 $BP,BF_2,BQ$ 的斜率成等差数列：
② 圆 $N$ 经过 $B,P,Q$ 三点，是否存在点 $B$，使得 $\angle PNQ=90^{\circ}$？若存在，求 $|BM|$；若不存在，请说明理由．
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #14
锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，满足 $a^2=b(b+c)$，$a+b=3$，则 $\triangle ABC$ 的周长的取值范围为_____．
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #13
已知双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}9=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1 , F_2$，点 $P(4,2)$，点 $Q\left(x_0,y_0\right)$ 是第一象限内双曲线 $\Gamma$ 上的一点，满足 $\dfrac{\overrightarrow{QF_1}\cdot\overrightarrow{PF_1}}{\left|QF_1\right|}=\dfrac{\overrightarrow{F_2 F_1}\cdot\overrightarrow{PF_1}}{\left|F_2 F_1\right|}$．记 $\triangle F_1 PQ,\triangle F_2 PQ$ 的面积分别为 $S_1 , S_2$，则 $S_1-S_2=$（ ）．
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #11
如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$M,N,P$ 分别是 $AA_1,CC_1,C_1 D_1$ 的中点，$Q$ 是线段 $D_1 A_1$ 上的动点，则（ ）
A．存在点 $Q$，使 $B,N,P,Q$ 四点共面
B．存在点 $Q$，使 $PQ\parallel ~\text{平面}~MBN$
C．过 $Q,M,N$ 三点的平面截正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 所得截面面积的取值范围为 $[2\sqrt 6,3\sqrt 3]$
D．经过 $C,M,B,N$ 四点的球的表面积为 $\dfrac{9\pi}2$
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #10
已知抛物线 $C: y^2=6 x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $A,B$（$A$ 在第一象限），以 $AB$ 为直径的圆 $E$ 与 $C$ 的准线相切于点 $D$．若 $|AD|=\sqrt 3|BD|$，则下列说法正确的是（ ）
A．$A,B,F$ 三点共线
B．$l$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$|AF|=3|BF|$
D．圆 $E$ 的半径是 $4$
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #8
设 $N$ 为正整数，在平面直角坐标系 $Ox y$ 中，若 $\dbinom Nm x^2+\dbinom Nn y^2=1$（$0\leqslant m\leqslant N$，$0\leqslant n\leqslant N$，且 $m,n\in \mathbb Z$）恰好能表示出 $12$ 个不同的椭圆方程，则 $N$ 的一个可能取值为（ ）
A．$12$
B．$8$
C．$7$
D．$5$
2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #19
有 $n$ 张编号分别为 $1$ 到 $n$ 的卡片，横向随机排列．对于这 $n$ 张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$，记此时的卡片排列为 $\left(A_1,A_2,\cdots A_n\right)$．对这 $n$ 张卡片的排列进行如下三步操作： $1$．取出最左边的卡片，记其标号为 $k $； $2$．剩余卡片中，标号小于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $L_1,L_2,\cdots, L_{k-1}$（若不存在则为空），标号大于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $R_1,R_2,\cdots, R_{n-k}$（若不存在则为空）； $3$．对这 $n$ 张卡片重新排列，得到新排列：$\left(L_1,L_2,\cdots L_{k-1},k,R_1,R_2,\cdots R_{n-k}\right)$． 每进行完上述三步操作，称为一次完整操作．
1、若初始排列为 $(3,5,2,4,1)$，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
2、求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 $(1,2,\cdots,n)$ 的顺序排列的概率；
3、记初始排列中有 $B_n$ 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 $(1,2,\cdots,n)$ 的顺序排列，当 $n\geqslant 2$ 时，证明：$B_{n+1}\leqslant n B_n+B_{n-1}$．
2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #18
曲线 $E:\dfrac{x^2}t+\dfrac{y^2}{1-t}=1$（$0<t<1$）与直线 $l: x+y=1$ 交于点 $A$，过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线交曲线 $E$ 于另外的点 $B$，设线段 $AB$ 的中点为 $P$，定点 $Q$ 的坐标为 $\left(\dfrac 1 8,\dfrac 1 8\right)$．
1、用 $t$ 表示点 $A$ 的坐标；
2、证明：$|PA|+|PQ|$ 为定值；
3、是否存在某条直线始终与以 $PQ$ 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #16
如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=1$，$PB=2\sqrt 3$，$PC=3$，$AB=3$，$BC=\sqrt 6$，$AC=\sqrt 7$，点 $M,N$ 分别是棱 $PB,PC$ 上的点，且直线 $PA\perp~\text{平面}~AMN$．
1、求 $MN$ 的长；
2、求三棱锥 $P-ABC$ 的体积；
3、求直线 $BC$ 与平面 $PAB$ 所成角的正弦值．
2026年3月湖北武汉调研考试数学试卷 #14
如图，已知 $\omega>0$，在函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图象中，其图象上的点 $A,B,C$ 是同一直线上的三点，且该直线与 $x$ 轴交于点 $D$，若 $|AD|=|DB|=|BC|=1$，则 $\omega=$ _____．
