2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #8
设 $N$ 为正整数，在平面直角坐标系 $Ox y$ 中，若 $\dbinom Nm x^2+\dbinom Nn y^2=1$（$0\leqslant m\leqslant N$，$0\leqslant n\leqslant N$，且 $m,n\in \mathbb Z$）恰好能表示出 $12$ 个不同的椭圆方程，则 $N$ 的一个可能取值为（ ）
A．$12$
B．$8$
C．$7$
D．$5$
答案 C．
解析 设 $P=\left\{x\mid x=\dbinom Nn,0\leqslant n\leqslant N,n\in\mathbb Z\right\}$，则\[|P|=k+1,\quad N=2k~\text{或}~2k+1.\]根据题意，有\[|P|\cdot \left(|P|-1\right)=12\iff |P|=4\iff k=3,\]从而 $N=6,7$，正确的选项只有 $\boxed{C}$．