2026年9月深圳中学开学摸底数学考试#19
已知 $k\in\mathbb N^{\ast}$，集合\[X_k=\left\{x\mid x=2^{i_0}+2^{i_1}+\cdots+2^{i_k},0\leqslant i_0<i_1<\cdots<i_k,i_0,i_1,\cdots,i_k\in\mathbb N\right\}.\]
1、求 $X_{2027}$ 中最小的元素；
2、若 $a\in X_1$，且 $a+10\in X_1$，求 $a$ 的所有可能值；
3、对于 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $Y_k=X_k\cap\left(2^{k+n-1},2^{k+n}\right]$，若集合 $Y_k$ 中的元素个数为 $b_n$，
① 求 $b_n$ 的表达式（用含有 $n$ 和 $k$ 的式子表达）；
② 令 $S_k=\displaystyle\sum_{m=1}^{k+1}\dfrac{b_m}{2^{m-1}}$，求证：数列 $\left\{S_k\right\}$ 是等比数列．
解析
1、根据题意，$X_k$ 是二进制表示中恰有 $(k+1)$ 个 $1$ 的正整数构成的集合，于是 $X_{2027}$ 中的最小元素是\[{\underbrace{11\cdots 1}_{2028~\text{个}}}_{(2)}=\sum_{k=0}^{2027}2^k=2^{2028}-1.\]
2、由于 $10=1010_{(2)}$，而 $a,a+10$ 的二进制表示均恰包含 $2$ 个 $1$，于是按尾数是 $10,00$ 分类，有\[a=1010_{(2)},11000_{(2)},\]即 $a$ 的所有可能值为 $10,24$．
3、① $Y_k $ 中元素最高位（在 $k+n$ 位）为 $1$，剩余 $ k $ 个 $1$ 分布在剩下的 $ k+n-1$ 位中，故\[b_n=\binom{k+n-1}k.\]
② 根据题意，有\[ S_k=\sum_{m=1}^{k+1}\frac{1}{2^{m-1}}\binom{k+m-1}{k}=\sum_{m=0}^{k}\frac{1}{2^{m}}\binom{k+m}{k},\]于是\[\begin{split} S_{k+1}-S_k&=\frac{1}{2^{k+1}}\binom{2k+2}{k+1}+\sum_{m=0}^{k}\frac{1}{2^{m}}\left(\binom{k+1+m}{k+1}-\binom{k+m}{k}\right)\\ &=\frac{1}{2^{k+1}}\binom{2k+2}{k+1}+\sum_{m=0}^{k}\frac{1}{2^{m}}\binom{k+m}{k+1}\\ &=\frac{1}{2^{k+1}}\binom{2k+2}{k+1}+\frac 12\sum_{m=-1}^{k-1}\frac{1}{2^m}\binom{k+m+1}{k+1}\\ &=\frac{1}{2^{k+1}}\binom{2k+2}{k+1}+\frac 12\left(S_{k+1}-\frac{1}{2^k}\binom{2k+1}{k+1}-\frac{1}{2^{k+1}}\binom{2k+2}{k+1}\right)\\ &=\frac 12S_{k+1}+\frac{1}{2^{k+2}}\left(\binom{2k+2}{k+1}-2\binom{2k+1}{k+1}\right)\\ &=\frac 12S_{k+1}+\frac{1}{2^{k+2}}\left(\binom{2k+2}{k+1}-\binom{2k+1}{k+1}-\binom{2k+1}k\right)\\ &=\frac 12S_{k+1},\end{split}\]从而\[S_{k+1}=2S_k,\]因此数列 $\{S_k\}$ 是首项为 $S_1=2$，公比为 $2$ 的等比数列．