每日一题[2088]换元显真章

已知 $x,y\in \mathbb R^+$,且 $\dfrac 4x+\dfrac 9y=1$,则 $\dfrac 4{2x^2+x}+\dfrac 9{y^2+y}$ 的最小值是_______.

答案    $\dfrac1{18}$

解析    题中问题即已知 $a,b>0$,且 $a+b=1$,求 $m=\dfrac{a^2}{a+8}+\dfrac {b^2}{b+9}$ 的最小值.而根据柯西不等式,有\[m\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{(a+8)+(b+9)}=\dfrac 1{18},\]等号当 $\dfrac{a}{a+8}=\dfrac{b}{b+9}$,即 $(a,b)=\left(\dfrac8{17},\dfrac9{17}\right)$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac1{18}$.

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