每日一题[2091]以退为进

已知关于 $x$ 的方程 ${\rm e}^{x+m}-({\rm e}-2)\ln x-\ln ^2x-(m+2)=0$ 恰有两个实数解,求实数 $m$ 的取值范围.

答案    $\{-{\rm e}\}$.

解析   

分析图象    设方程左侧为函数 $f(x)$,则 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x{\rm e}^{x+m}-({\rm e}-2)-2\ln x}{x},\]而设其分子部分为函数 $g(x)$,则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^{x+m}(x+1)-\dfrac 2x,\]由于 $g(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增且当 $x\to 0+$ 时,$g'(x)\to -\infty$,当 $x\to +\infty$ 时,$g'(x)\to +\infty$,于是 $g'(x)$ 有唯一零点,记为 $x_0$.在 $(0,x_0)$ 上,$g(x)$ 单调递减;在 $(x_0,+\infty)$ 上,$g(x)$ 单调递增. 根据题意,必然有 $g(x_0)<0$,否则 $f(x)$ 单调递增.结合当 $x\to 0+$ 时,$g(x)\to +\infty$;当 $x\to +\infty$ 时,$g(x)\to +\infty$,因此 $g(x)$ 必然有两个零点,这两个零点均为 $f(x)$ 的极值点,考虑到 $f(x)$ 恰有两个零点,因此 $f(x)$ 必然有某个极值为 $0$.

确定细节    注意到\[f(1)={\rm e}^{m+1}-(m+2)\geqslant 0,\]等号当且仅当 $m=-1$ 时取得,而当 $m=-1$ 时,有\[g(x)=x{\rm e}^{x-1}-({\rm e}-2)-2\ln x>x^2-({\rm e}-2)-\ln x^2\geqslant 3-{\rm e}>0,\]不符合题意,因此 $m\ne -1$,进而 $f(1)>0$,因此 $f(x)$ 的极小值为 $0$,且极小值点大于 $1$.

放缩处理参数    考虑到\[({\rm e}-2)\ln x+\ln ^2x={\rm e}^{x+m}-(m+2)\geqslant (x+m+1)-(m+2)=x-1,\]于是设 $h(x)=({\rm e}-2)\ln x+\ln^2x-x+1$,则 $h(x)\geqslant 0$,而其导函数\[h'(x)=\dfrac{{\rm e}-2+2\ln x-x}{x},\]设 $r(x)={\rm e}-2+2\ln x-x$,则其导函数\[r'(x)=\dfrac 2x-1,\]因此 $r(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增,在 $(2,+\infty)$ 上单调递减.注意到 $r(1)<0$,$r({\rm e})=0$,因此 $h(x)$ 在 $(1,{\rm e})$ 上先单调递减,再单调递增,在 $({\rm e},+\infty)$ 上单调递减,而 $h(1)=h({\rm e})=0$,因此 $h(x)\geqslant 0$ 只有一个满足 $x>1$ 的解,为 $x={\rm e}$.

求解参数    回到 $f({\rm e})=f'({\rm e})=0$,可得 $m=-{\rm e}$,因此实数 $m$ 的取值范围是 $\{-{\rm e}\}$.

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每日一题[2091]以退为进》有1条回应

  1. louxin2020说:

    请问兰老师,确定细节后面的f(x) 的极小值为 0,且极小值点大于 1是怎么得到的呢?画图得不到啊!

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