每日一题[2086]极限探路

给定正整数 $n\geqslant 3$.求最大的实数 $M$,使得\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant M\]对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 恒成立,其中 $a_{n+1}=a_1$.

答案    当 $n=3$ 时,$M=\dfrac 34$;当 $n\geqslant 4$ 时,$M=1$.

解析    令 $b_k=\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$,则 $b_1\cdot b_2\cdots b_n=1$,且\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{1+b_k}\right)^2.\] 先证明一个辅助不等式\[\left(\dfrac1{1+x}\right)^2+\left(\dfrac{1}{1+y}\right)^2\geqslant \dfrac{1}{1+xy}\iff x^3y+xy^3+1\geqslant x^2y^2+2xy,\]而根据均值不等式,有\[x^3y+xy^3+1\geqslant 2x^2y^2+1\geqslant x^2y^2+2xy,\]因此辅助不等式成立.

情形一    这样我们就有当 $n=4$ 时,有\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2=\sum_{k=1}^4\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant \dfrac{1}{1+b_1b_2}+\dfrac{1}{1+b_3b_4}=1.\]且当 $(a_1,a_2,a_3,a_4)\to (0,0,0,1)$ 时,有\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\to 1\]因此当 $n=4$ 时,$M=1$.

情形二    当 $n\geqslant 5$ 时,注意到若 $b_i\geqslant 1$,则\[\left(\dfrac{1}{1+b_i}\right)^2+\left(\dfrac{1}{1+b_j}\right)^2\geqslant \left(\dfrac{1}{1+b_i}\right)^2>\left(\dfrac{1}{1+b_ib_j}\right)^2,\]因此\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2>1,\]且当 $(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)=(0,0,\cdots,0,1)$ 时,有\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\to 1,\]因此当 $n\geqslant 5$ 时,$M=1$.

情形三     $n=3$.取 $a_1,a_2,a_3,a_3$,可得\[\sum_{k=1}^3\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2+\left(\dfrac{a_3}{a_3+a_3}\right)^2\geqslant 1,\]于是\[\sum_{k=1}^3\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant \dfrac 34,\]等号当 $a_1=a_2=a_3$ 时取得,因此当 $n=3$ 时,$M=\dfrac 34$.

综上所述,当 $n=3$ 时,$M=\dfrac 34$;当 $n\geqslant 4$ 时,$M=1$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[2086]极限探路》有3条回应

  1. mrblack说:

    请问为何a1,a2,a3,a4→(0.0.0.1)那个值就趋近于1?

  2. 郝酒说:

    题干里是不是应为 $a_{n+1}=a_1$ 呀.

发表评论