若函数 $f(x)=(x+a)\big(|x+1-a|+|x-3|\big)-2x+4a$ 的图象有对称中心，则实数 $a=$ _______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $x^2=2y$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点．
1、求 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值．
2、若点 $P$ 在线段 $MN$（不含端点）上运动，$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}$，求四边形 $OMQN$ 的面积的最小值．
已知 $x,y>0$，则 $\dfrac{2xy}{x^2+4y^2}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 的最大值是______．
如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 $1$，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 $A,B,C,D$ 四点均位于图中的“晶格点”处，且 $A,B$ 的位置如图所示，则 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$ 的最大值为_______．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的模分别为 $2,\sqrt 3,1$，且 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=5$，则 $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ 与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 的夹角的余弦的最小值等于_______．
已知 $0<x<y<z<\dfrac {\pi}2$，求证：$\dfrac{\pi}2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z$．
设 $\varphi(a,b)=\sqrt{(a-b)^2+\left(\ln a-\dfrac{b^2}4\right)^2}+\dfrac {b^2}4$，则 $\varphi(a,b)$ 的最小值为（ ）
A．$\sqrt 2-1$
B．$2-\sqrt 2$
C．$\dfrac{\sqrt 2}2$
D．$1$
已知 $a>0$，$b>0$，$m>0$，不等式 $\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b^2}}+m\sqrt{\dfrac b{a+b}}\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为_______．
设 $P,Q$ 是双曲线 $x^2-y^2=4\sqrt 2$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线 $l$ 折成直二面角，则折叠后线段 $PQ$ 长度的最小值为_______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C:(x-2)^2+(y-2)^2=20$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（$A$ 点在 $B$ 点的左侧），圆 $C$ 的弦 $MN$ 过点 $T(3,4)$，分别过 $M,N$ 作圆 $C$ 的切线，交点为 $P$，则线段 $AP$ 的最小值为_______．
