题拍拍征解问题[10](已解决)

『3724465』已知非零实数 $a,b,c$ 满足\[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=a^4,\]求 $\dfrac bc-\dfrac cb$ 的最大值与最小值,并指出取得最值时的 $|a|:|b|:|c|$.

(post by 康天华&袁旭华,2020年11月14日提供)

设 $\dfrac ba=x$,$\dfrac ca=y$,$p=\dfrac bc-\dfrac cb$,则\[p=\dfrac xy-\dfrac yx=\dfrac{x^2-y^2}{xy},\]此时根据已知可得\[(1+x+y)(1+x-y)(x+y-1)(y+1-x)=1,\]即\[x^4+y^4-2x^2y^2+1=2x^2+2y^2-1,\]设 $m=x^2-y^2$,$n=x^2+y^2$,不妨设 $m\geqslant 0$,则\[\dfrac{m^2+n^2}2-\dfrac{n^2-m^2}2+1=2n-1\iff n=\dfrac 12m^2+1,\]于是\[p^2=\left(\dfrac{x^2-y^2}{xy}\right)^2=\dfrac{m^2}{\frac{n^2-m^2}4}=\dfrac{16m^2}{m^4+4}\leqslant 4,\]等号当 $m^2=2$,即 $(m,n)=\left(\pm\sqrt 2,1\right)$ 时取得.因此 $\dfrac bc-\dfrac cb$ 的最大值为 $2$,最小值为 $-2$,取得最值时的\[|a|:|b|:|c|=\sqrt{2-\sqrt 2}:1:(\sqrt 2-1).\]

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