每日一题[2109]数列不等式

已知 $\left(\dfrac{12}{11}\right)^{10}\approx 2.3872$,求证:当 $n\geqslant 11$ 时,有\[\left(1+\dfrac 1n\right)^n<3\left(1-\dfrac 1n\right).\]

解析    题中不等式即\[\ln\left(1+\dfrac 1n\right)<\dfrac 1n\left(\ln 3+\ln\left(1-\dfrac 1n\right)\right),\]因此只需要证明当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{11}\right)$ 时,有\[x\ln 3+x\ln (1-x)-\ln (1+x)>0,\]设左侧函数为 $f(x)$,则其导函数\[f'(x)=\ln 3+1+\ln(1-x)-\dfrac{2}{1-x^2},\]于是函数 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减.结合 $f'(0)=\ln 3+1-2>0$,可得 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{11}\right)$ 上或者单调递增,或者先单调递增后单调递减,无论何种情形,都只需要证明 $f\left(\dfrac{1}{11}\right)>0$,也即当 $n=11$ 时原不等式成立.而原不等式即\[\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-1}<3\cdot \dfrac{n-1}n\cdot \dfrac{n}{n+1}\iff \left(1+\dfrac 1n\right)^{n-1}<\dfrac{3(n-1)}{n+1},\]当 $n=11$ 时,左侧约为 $2.3872$,右侧为 $2.5$,命题成立. 综上所述,原命题得证.

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