已知 $\triangle A_0B_0C_0$ 为内角分别为 $59.999^\circ,60^\circ,60.001^\circ$ 的三角形．对于每个正整数 $n$，定义 $A_n$ 为 $A_{n-1}$ 在边 $B_{n-1}C_{n-1}$ 上的投影，类似的，$B_n$ 为 $B_{n-1}$ 在边 $C_{n-1}A_{n-1}$ 上的投影，$C_n$ 为 $C_{n-1}$ 在边 $A_{n-1}B_{n-1}$ 上的投影，则使得 $\triangle A_nB_nC_n$ 为钝角三角形的最小正整数 $n$ 是（ ）
A．$10$
B．$11$
C．$13$
D．$14$
E．$15$
设 $\omega=-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}$，设 $S$ 是所有形如 $a+b\omega+c\omega^2$ 的复数在复平面内对应的点的集合，其中实数 $a,b,c\in [0,1]$，则 $S$ 的面积为（ ）
A．$ \dfrac{1}{2}\sqrt3 $
B．$ \dfrac{3}{4}\sqrt3 $
C．$ \dfrac{3}{2}\sqrt3$
D．$ \dfrac{1}{2}\pi\sqrt3 $
E．$ \pi$
已知函数 $f(x)=\ln x+2ax$，$g(x)=\dfrac 1x-a$，且 $f(x)g(x)\leqslant 0$ 在定义域内恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 $y=x^3+ax$ 上，则实数 $a$ 的值为_______．
已知 $a=\left(\dfrac 12\right)^b={\log_{0.3}}0.2$，则（ ）
A．$2.5<2a-b<3$
B．$3<2a-b<3.5$
C．$3.5<2a-b<4$
D．以上答案都不对
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=4$，$\ln a_{n+1}=\dfrac 1na_n^2-a_n+3$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$a_n\geqslant 4n$．
2、求证：$\dfrac 16\leqslant \dfrac{1}{2+a_1}+\dfrac{1}{2+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{2+a_n}\leqslant \dfrac 14$．
已知函数 $f(x)=|x^2-4x|$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m|x+1|-2$ 恰有 $4$ 个互异的实根，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
已知函数 $f(x)$ 为反比例函数，曲线 $g(x)=f(x)\cdot \cos x+b$ 在 $x=\dfrac{\pi}2$ 处的切线方程为 $y=-\dfrac{6}{\pi}x+2$．
1、求 $g(x)$ 的解析式．
2、判断函数 $F(x)=g(x)+1-\dfrac{3}{2\pi}$ 在区间 $(0,2\pi]$ 内的零点的个数，并证明．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=8a_n-7$，且 $\{a_n\}$ 中有且只有一个素数，写出 $a_1$ 的两个可能取值．
已知函数 $f(x)=\ln x+(1-a)x+a$（$a>0$），若不等式 $f(x)>0$ 有且只有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$
B．$(0,2+\ln 2)$
C．$\left[\dfrac{3+\ln 3}2,2+\ln 2\right)$
D．$\left[\dfrac{2\ln 2+4}3,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$
