每日一题[1902]变换主元

已知函数 $f(x)=\ln x+2ax$,$g(x)=\dfrac 1x-a$,且 $f(x)g(x)\leqslant 0$ 在定义域内恒成立,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2{\rm e}}\right]\cup\left\{{\rm e}^2\right\}$.

解析    不等式 $f(x)g(x)\leqslant 0$ 即\[\left(a+\dfrac{\ln x}{2x}\right)\left(a-\dfrac 1x\right)\geqslant 0\iff a\leqslant \min\left\{-\dfrac{\ln x}{2x},\dfrac 1x\right\}\lor a\geqslant \max\left\{-\dfrac{\ln x}{2x},\dfrac 1x\right\},\]当 $x$ 取遍全体正实数时,可得 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2{\rm e}}\right]\cup\left\{{\rm e}^2\right\}$.

备注    要注意不要漏掉 $a={\rm e}^2$,考虑反面可以更容易获得正确答案.

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