求证：$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{k+1}{k^2(k+2)^2}<\dfrac{5}{16}$．
已知函数 $f(x)=\ln x+a\left(\dfrac 1x-1\right)$，$a\in\mathbb R$． 若 $f(x)\geqslant 0$，
1、求实数 $a$ 的取值范围．
2、求证：${\rm e}^x+\dfrac 1x\geqslant 2-\ln x+x^2+({\rm e}-2)x$．
在 $\triangle QRS$ 中，$\angle QRS$ 平分线交 $QS$ 于 $T$，设 $QT=m$，$TS=n$，$m,n$ 均为正整数且 $n>m$．若 $\triangle QPS$ 的周长 $p$ 为整数，且有 $m^2+2m-1$ 种不同的取值，则 $n-m=$ （ ）
A．$4$
B．$1$
C．$3$
D．$2$
E．$5$
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，异于原点的 $A,B,C$ 三点满足 $OA^2+2OB^2+3OC^2=6$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．
设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的以 $3$ 为周期的奇函数，且 $f(2)=0$，则 $f(x)=0$ 在区间 $(0,6)$ 上的实数解的个数的最小值是（ ）
A．$3$
B．$5$
C．$7$
D．以上答案都不对 继续阅读
已知函数 $f(x)=(kx-1){\rm e}^x-k(x-1)$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线斜率与 $k$ 无关，求 $x_0$．
2、若存在实数 $x$ 使 $f(x)<0$ 成立，求整数 $k$ 的最大值．
复平面上的一个关于原点对称的六边形的顶点对应的复数集为\[V=\left\{ \sqrt{2}{\rm i},-\sqrt{2}{\rm i}, \dfrac{1}{\sqrt{8}}(1+{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(-1+{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(1-{\rm i}),\dfrac{1}{\sqrt{8}}(-1-{\rm i}) \right\},\]从 $V$ 中随机选择元素 $z_j$（$1\leqslant j\leqslant 12$），且 $P$ 是这 $12$ 个数的乘积，则 $P=-1$ 的概率是（ ）
A．$ \dfrac{5\cdot11}{3^{10}} $
B．$ \dfrac{5^2\cdot11}{2\cdot3^{10}} $
C．$ \dfrac{5\cdot11}{3^{9}} $
D．$ \dfrac{5\cdot7\cdot11}{2\cdot3^{10}} $
E．$ \dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}$
已知坐标平面上有顶点分别为 $(2,2),(-2,2),(-2,-2),(2,-2)$ 的正方形，一个粒子从原点 $O(0,0)$ 出发，每秒钟等可能的移动到离当前位置最近的 $8$ 个格点（横纵坐标均为整数的点）中的一个，每次移动独立．粒子第一次撞击正方形时，撞击位置是正方形的顶点（而不是边的内部）的概率为 $\dfrac mn$，其中 $m,n$ 是互质的正整数，则 $m+n=$（ ）
A．$ 4 $
B．$ 5 $
C．$ 7 $
D．$ 15 $
E．$ 39$
已知三次函数 $f(x)$ 的图象上有三点 $A(2,4)$，$B(3,9)$，$C(4,16)$，直线 $AB,AC,BC$ 分别与 $f(x)$ 的图象交于 $D,E,F$，点 $D,E,F$ 的横坐标之和为 $24$，则 $f(0)=$ （ ）
A．$ -2 $
B．$ 0 $
C．$ 2 $
D．$ \dfrac{24}{5} $
E．$ 8$
