每日一题[1922]三角形的构成

在 $\triangle QRS$ 中,$\angle QRS$ 平分线交 $QS$ 于 $T$,设 $QT=m$,$TS=n$,$m,n$ 均为正整数且 $n>m$.若 $\triangle QPS$ 的周长 $p$ 为整数,且有 $m^2+2m-1$ 种不同的取值,则 $n-m=$ (       )

A.$4$

B.$1$

C.$3$

D.$2$

E.$5$

答案    A.

解析    根据角平分线定理,$\dfrac{RQ}{RS}=\dfrac mn$,考虑到周长 $p$ 为整数,设 $RQ=\dfrac{m}{m+n}\cdot k$,$RS=\dfrac{n}{m+n}\cdot k$,其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$.对于 $\triangle RQS$ 而言,有\[\begin{cases} RS+RQ>QS,\\ RS-RQ<QS,\end{cases}\iff \begin{cases} k>n+m,\\ \dfrac{(n-m)k}{n+m}<n+m,\end{cases}\]而 $n-m \mid n+m$,因此 $p$ 的可能值的个数为\[\dfrac{(n+m)^2}{n-m}-(n+m)-1=m^2+2m-1,\]化简整理可得\[n=1+\dfrac 4m,\]考虑到 $n>m$,于是 $m=1$,$n=5$,从而 $n-m=4$.

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每日一题[1922]三角形的构成》有2条回应

  1. huzhouxiansheng说:

    最后的化简有问题吗 为什么n-m|n+m呢

  2. Math_fish说:

    请问p的值怎么来的啊

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