每日一题[1923]纸老虎

已知函数 $f(x)=\ln x+a\left(\dfrac 1x-1\right)$,$a\in\mathbb R$. 若 $f(x)\geqslant 0$,

1、求实数 $a$ 的取值范围.

2、求证:${\rm e}^x+\dfrac 1x\geqslant 2-\ln x+x^2+({\rm e}-2)x$.

解析

1、考虑到 $\forall x>0,f(x)\geqslant 0$ 等价于\[\forall x>0,-\ln x+a(x-1)\geqslant 0,\]设左侧函数为 $r(x)$,则 $r(1)=0$,其导函数\[r'(x)=\dfrac{ax-1}x,\]于是 $r'(1)=a-1$. 若 $a\leqslant 0$,则 $r(2)<0$,不符合题意; 若 $0<a<1$,则 $r(x)$ 在 $\left(1,\dfrac 1a\right)$ 上单调递减,结合 $r(1)=0$,不符合题意; 若 $a>1$,则 $r(x)$ 在 $\left(\dfrac 1a,1\right)$ 上单调递增,结合 $r(1)=0$,不符合题意; 若 $a=1$,则 $r(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值,也为最小值 $r(1)=0$,符合题意. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\{1\}$.

2、令 $g(x)={\rm e}^x+\dfrac 1x+\ln x-x^2-({\rm e}-2)x-2$,则\[g'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac 1x-2x-{\rm e}+2,\]注意到 $g'(1)=0$,而\[\begin{split} g''(x)&={\rm e}^x+\dfrac2{x^3}-\dfrac1{x^2}-2\\ &>(1+x)+\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}-2\\ &=\dfrac{x^4-x^3-x+2}{x^3}\\ &=\dfrac{(x-1)^2(x^2+x+1)+1}{x^3}>0,\end{split}\] 因此 $g'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,因此 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值,也为最小值 $g(1)=0$,命题得证.

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