每日一题[1920]零点知多少

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的以 $3$ 为周期的奇函数,且 $f(2)=0$,则 $f(x)=0$ 在区间 $(0,6)$ 上的实数解的个数的最小值是(       )

A.$3$

B.$5$

C.$7$

D.以上答案都不对

答案    C.

解析    首先证明 $x=k$($k\in\mathbb Z$)为函数 $f(x)$ 的零点,考虑到 $f(x)$ 的周期为 $3$,因此只需要证明 $f(0)=f(1)=f(2)=0$,事实上,根据函数 $f(x)$ 是奇函数以及题设,只需要证明 $f(1)=0$,而\[f(1)=f(-1)=f(2)=0.\] 接下来证明 $x=\dfrac {6n-3}2$($n\in\mathbb Z$ 为函数的零点,根据函数 $f(x)$ 的奇偶性和周期性,有\[\begin{cases} f\left(\dfrac 32\right)=-f\left(-\dfrac 32\right),\\ f\left(\dfrac 32\right)=-f\left(-\dfrac 32\right),\end{cases}\implies f\left(\dfrac 32\right)=f\left(-\dfrac 32\right)=0,\]结合函数 $f(x)$ 的周期性,可得 $x=\dfrac {6n-3}2$($n\in\mathbb Z$)为函数的零点. 综上所述,函数 $f(x)$ 在 $(0,6)$ 上的零点不少于 $7$ 个(至少有 $1,2,3,4,5,\dfrac 32,\dfrac 92$),下面给出 $7$ 个零点的例子.

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