每日一题[1921]冻结变量

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,异于原点的 $A,B,C$ 三点满足 $OA^2+2OB^2+3OC^2=6$,则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______.

答案    $\dfrac 32$.

解析    我们熟知,若平面上 $M,N$ 为两定点,则使得 $\lambda PM^2+\mu PN^2$ 为常数($\lambda,\mu>0$ 且均为常数)的点 $P$ 的轨迹是圆.这就意味着固定 $A,B$,则要使 $\triangle ABC$ 面积最大,则有 $OC\perp AB$.类似的,可得 $OA\perp BC$ 且 $OB\perp CA$,因此 $O$ 必然为 $\triangle ABC$ 的垂心.

设 $O$ 在 $AB$ 上的投影为 $H$,$HA=a$,$HB=b$,$OC=c$,且 $OH=h$,则\[\left(a^2+h^2\right)+2\left(b^2+h^2\right)+3c^2=6\iff a^2+2b^2+3h^2+3c^2=6,\]此时 $\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12(a+b)(c+h)\\ &\leqslant \dfrac 12\cdot \sqrt{\left(1+\dfrac12\right)\left(a^2+2b^2\right)}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 13+\dfrac 13\right)\left(3h^2+3c^2\right)}\\ &=\dfrac12\sqrt{\left(a^2+2b^2\right)\left(3h^2+3c^2\right)}\\ &\leqslant \dfrac 32,\end{split}\]等号当\[\begin{cases} a=2b,\\h=c,\\ a^2+2b^2=3h^2+3c^2=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\sqrt 2,\\ b=\dfrac{\sqrt 2}2,\\ h=c=\dfrac{\sqrt 2}2\end{cases}\]时取得,因此 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac 32$.

备注    一般的,若 $\dfrac{OA^2}{a}+\dfrac{OB^2}{b}+\dfrac{OC^2}{c}=1$,则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $\dfrac14\sqrt{ab+bc+ca}$.

另法    设 $OC=t$,$AB=m$,重新建立平面直角坐标系,使 $A(0,0)$,$B(3m,0)$,设 $O(x,y)$,则\[OA^2+2OB^2=6-3t^2\iff x^2+y^2+2\big((x-3m)^2+y^2\big)=6-3t^2,\]即\[(x-2m)^2+y^2=2-t^2-2m^2,\]因此 $\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split} S&\leqslant \dfrac 12\cdot 3m\cdot \left(\sqrt{2-t^2-2m^2}+t\right)\\ &\leqslant \dfrac 32m\cdot \sqrt {2(2-2m^2)}\\ &\leqslant 3\sqrt{m^2(1-m^2)}\\ &\leqslant \dfrac 32,\end{split}\]等号当 $OC\perp AB$,$t^2=1-m^2$,$m^2=\dfrac 12$ 时取得,因此所求最大值为 $\dfrac 32$.

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