已知 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 构成公差为 $d$ 的等差数列，设 $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_6)$，若 $f(1)=f(2)=f(3)\ne 0$，则 $d$ 的最小值为_______．
一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第 $1$ 站、第 $2$ 站、第 $3$ 站、$\cdots$、第 $100$ 站，共 $100$ 站，设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_n$，一枚棋子开始在第 $1$ 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面朝上，棋子向前跳一站，若硬币的反面朝上，棋子向前跳两站，知道棋子跳到第 $99$ 站（失败）或第 $100$ 站（获胜）时，游戏结束．
1、求 $P_1,P_2,P_3$．
2、求证：数列 $\{P_{n+1}-P_n\}$（$n=1,2\cdots,98$）是等比数列．
3、求玩该游戏获胜的概率．
已知抛物线 $C:x^2=2py$ 的焦点为 $F(0,1)$，若抛物线 $C$ 上的点 $A$ 关于直线 $l:y=2x+2$ 对称的点 $B$ 恰好在射线 $y=11$（$x\leqslant 3$）上，则直线 $AF$ 被 $C$ 截得的弦长为（ ）
A．$\dfrac{91}9$
B．$\dfrac{100}9$
C．$\dfrac{118}9$
D．$\dfrac{127}9$
已知二次函数 $f(x)=ax^2+x+c$（$a,c\in\mathbb R$，$a\ne0$）在区间 $[1,2]$ 上有零点，则 $4a^2+c^2$ 的最小值为_______．
已知三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a<b$）在 $\mathbb R$ 上单调递增，则 $\dfrac{a+b+c}{b-a}$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 6+5}2$
B．$\dfrac{\sqrt 6+5}3$
C．$\dfrac{7+\sqrt 5}2$
D．$\dfrac{2\sqrt 7+5}3$
已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1=1$，$2S_n=a_n^2-2S_{n-1}+1$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、若数列 $\{b_n\}$ 满足条件 $b_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{(a_n+1)^2}+\dfrac{1}{(a_{n+1}+1)^2}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $M\leqslant \dfrac 2nT_n$，求整数 $M$ 的最大值．
已知无穷数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和． 若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且对任意正整数 $n$ 都有 $S_{n^2}=\left(S_n\right)^2$ 成立，
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项．
2、若数列 $\{a_n\}$ 的各项互不相等，其前 $n$ 项构成集合 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，定义 $\overrightarrow a_n=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 且\[V=\left\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\mid b_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,\cdots,n\right\},\]设 $\overrightarrow b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 且 $\overrightarrow b\in V$，定义\[\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n,\]在此基础上，定义 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 的扩充集\[\Gamma_n=\left\{x\mid x=\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b,\overrightarrow b\in V,x\in\mathbb N^{\ast}\right\},\]且对于任意 $\overrightarrow m,\overrightarrow n\in V$ 且 $\overrightarrow m\ne \overrightarrow n$，只要 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow m,\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow n\in \mathbb N^{\ast}$，就有 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow m\ne \overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow n$，且 $\overrightarrow a_n\cdot \overrightarrow b=0$ 等价于 $\overrightarrow b=(0,0,\cdots,0)$．若 $\Gamma_n=\{1,2,\cdots,S_n\}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
已知函数 $f(x)=(\cos\theta+1)\cos 2x+\cos\theta(\cos x+1)$，则（ ）
A．$f(x)$ 是偶函数
B．$f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减
C．当 $\theta\in\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，有 $|f(x)|<\dfrac 75$
D．当 $\theta\in\left[\dfrac{2\pi}3,\dfrac{3\pi}4\right]$ 时，有 $|f'(x)|<\dfrac{14}5$
已知函数 $f(x)=ax^3-(3a-2)x^2-8x+12a+7$，$g(x)=\ln x$，记 $h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$，若 $h(x)$ 至少有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(-\infty,-\dfrac{1}{10}\right)$
B．$\left(\dfrac 18,+\infty\right)$
C．$\left[-\dfrac{1}{10},\dfrac 18\right)$
D．$\left[-\dfrac1{1},\dfrac 18\right]$
