在火星文明中，所有未指定底数对数的底数都默认为 $b$（$b\geqslant 2$），一位火星学生写下方程组\[\begin{cases} 3 \log (\sqrt{x} \log x) =56, \\ \log _{\log x}(x) =54,\end{cases}\]且发现这个方程组只有唯一一个大于 $1$ 的实数解，则 $b=$ _______．
一张圆桌配有按顺序编号为 $1,2,\cdots,12$ 的一圈椅子，安排四位大使和他们的顾问（每位大使均有一位顾问）入座．每位大使都必须安排坐在编号为偶数的椅子上，每位顾问必须安排在对应的大使的旁边，则不同的安排方法数模 $1000$ 的余数为_______．
已知正整数 $a,b,c,d,e,f,g$ 满足\[\begin{cases} abc=70,\\ cde=71,\\ efg=72,\end{cases}\]则符合要求的解 $ (a, b, c, d, e, f, g) $ 的个数为_______．
已知池塘中有按顺序编号为 $1,2,3,\cdots$ 的一列荷叶，一只青蛙从 $1$ 号荷叶出发进行跳跃．当青蛙位于 $k$ 号荷叶时，等可能的跳到 $k+1$ 或 $k+2$ 号荷叶．设青蛙在行经过程中会落在 $7$ 号荷叶的概率的最间分数表示为 $\dfrac pq$，则 $p+q=$_______．
已知 $C,D$ 在直线 $AB$ 的同侧，$\triangle ABC\cong \triangle BAD$，且 $AB=9$，$BC=AD=10$，$CA=DB=17$．设这两个三角形的公共部分的面积的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
已知 $AB$ 为圆 $\omega$ 的弦，$P$ 在弦 $AB$ 上，圆 $\omega_1$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $B$．圆 $\omega_1$ 和圆 $\omega_2$ 相交于点 $P,Q$，直线 $PQ$ 交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $AP=5$，$PB=3$，$XY=11$，且 $PQ^2$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
已知 $f(z)=z^2-19z$，复数 $z,f(z),f(f(z))$ 在复平面上对应的点为直角三角形的三个顶点，且 $f(z)$ 对应的点为直角顶点，$z$ 的最简形式为 $m+\sqrt n+11{\rm i}$（$m,n$ 均为正整数），则 $m+n=$_______．
三角形 $ABC$ 的边长均为整数，且 $AB=AC$．圆 $\omega$ 的圆心为 $\triangle ABC$ 的内心，$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 内切，边 $AC,BA$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 外切，则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______．
已知 $z_1,z_2,\cdots,z_{673}$ 是不同的复数，多项式\[(x-z_1)^3(x-z_2)^3\cdots(x-z_{673})^3=x^{2019}+20x^{2018}+19x^{2017}+g(x),\]其中 $g(x)$ 是不超过 $2016$ 次的复系数多项式．设 $\left|\displaystyle\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant 673} z_{j} z_{k}\right|$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．
