我们可以利用数列 $\left\{a_n\right\} $ 的递推公式 $a_n=\begin{cases}n,&n~\text{为奇数时},\\a_{\frac n2},&n~\text{为偶数时},\end{cases}\left( n\in \mathbb N^{\ast} \right)$ 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则 $a_{24}+a_{25}$ =[[nn]]；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 $8$ 个 $5$ 是该数列的第[[nn]]项．
设 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\leqslant \dfrac a{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}.\]
设 $a,b,c,d$ 为正实数，且 $a+b+c+d=4$．证明：\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}\geqslant 4+(a-b)^2.\]
平面直角坐标系中有 $16$ 个格点 $(i,j)$，其中 $0\leqslant i\leqslant 3$，$0\leqslant j\leqslant 3$．若在这 $16$ 个点中任取 $n$ 个点，这 $n$ 个点中总存在 $4$ 个点，这 $4$ 个点是一个正方形的顶点，求 $n$ 的最小值．
证明：对任意 $x\in\mathbb R^{\ast}$，有\[\max\{0,\ln |x|\}\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\ln |x|+\dfrac1{2\sqrt 5}\ln |x^2-1|+\dfrac 12\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2,\]且等号成立的充要条件是 $x=\pm\dfrac{\sqrt 5+1}2$ 或 $x=\pm \dfrac{\sqrt 5-1}2$．
如图所示，$D$ 是 $\triangle ABC$ 中边 $BC$ 的中点，$K$ 为 $AC$ 与 $\triangle ABD$ 的外接圆 $O$ 的交点，$EK$ 平行于 $AB$ 且与圆 $O$ 交于 $E$．若 $AD=DE$，求证：$AB+AK=KC$．
已知函数 $f(x)=\left(\dfrac 13\right)^x-\left(\dfrac 15\right)^x$．对任意 $x_1,x_2\in [1,+\infty)$，且 $x_1<x_2$．
1、求证：$f(x_1)>f(x_2)$．
2、求证：$f\left(\sqrt{x_1x_2}\right)>\sqrt{f(x_1)f(x_2)}$．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 与 $x$ 轴交于点 $A,B$，过椭圆上动点 $M$（$M$ 不于 $A,B$ 重合）作椭圆的切线 $l$，过点 $A,B$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与切线 $l$ 分别交于点 $C,D$．直线 $CB,AD$ 交于点 $Q$，$Q$ 关于点 $M$ 的对称点为 $P$，求点 $P$ 的轨迹方程．
已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的焦点坐标为 $F_1\left(-c,0\right)$，$F_2\left(c,0\right)$，若直线 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 相切，点 $F_1,F_2$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_1,d_2$．
1、证明：$d_1\cdot d_2=b^2$．
2、证明：$2b\leqslant d_1+d_2\leqslant 2a$．
3、证明：$\dfrac{a-c}{a+c}\leqslant\dfrac{d_1}{d_2}\leqslant\dfrac{a+c}{a-c}$．
椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为椭圆短轴的一个顶点，$PF_1$ 的延长线与椭圆相交于 $G$，$\triangle PGF_1$ 的周长为 $8$，$|PF_1|=3|GF_1|$．
1、求椭圆 $E$ 的方程．
2、过椭圆 $E$ 外一点 $A$ 作矩形 $ABCD$，使椭圆 $E$ 与矩形 $ABCD$ 的四条边都相切，求矩形 $ABCD$ 的面积的取值范围．
