$\triangle ABC$ 的三边长 $AB=7$，$BC=8$，$CA=9$．圆 $\omega_1$ 过点 $B$ 且与直线 $AC$ 且于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $C$ 且与直线 $AB$ 切于点 $A$．设 $K$ 是圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 的不同于 $A$ 的交点，$AK$ 的最简表示为 $\dfrac pq$，则 $p+q=$ _______．
已知所有项之和为 $360$ 的递增有限正整数数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足每一项都能整除紧接其后的一项（我们认为单独的一个数 $360$ 也是符合条件的数列），则这样的数列的个数为 _______．
已知锐角 $\theta$ 满足对任意非负整数 $n$，都有\[\tan(2^n\theta)\begin{cases} >0,&n\text{ 为 }3\text{ 的倍数},\\ <0,&n\text{ 不为 }3\text{ 的倍数},\end{cases}\]$\theta$的最简分数表示为$\dfrac pq$，则$p+q=$ _______．
$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=120$，$BC=220$，$AC=180$．直线 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 分别平行于 $BC,AC,AB$，且被 $\triangle ABC$ 截得的线段长分别为 $55,45,15$，则 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 围成的三角形的周长为_______．
已知多项式 $f(z)=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的系数为不超过 $2019$ 的实数，且\[f\left(\dfrac{1+\sqrt{3} {\rm i}}{2}\right)=2015+2019 \sqrt{3}{\rm i},\]则 $f(1)=$ _______．
已知 $a,b,c>0$． 若 $a+b+c=1$，
1、求证：$a^2+b^2+c^2\geqslant a^3+b^3+c^3+2(ab+bc+ca)^2$．
2、若 $a+b+c=3$，求 $\dfrac 49(ab+bc+ca)+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac1{c+2}$ 的最大值．
如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在边 $AB,BC$ 上，等腰三角形 $DEF$ 的底边 $DE$ 上的高为 $FG$ 且 $DE=FG$．若 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 的面积均为 $20$，则 $\triangle BEF$ 的面积为_______．
已知 $AB$ 为圆 $\omega$ 的弦，$P$ 在弦 $AB$ 上，圆 $\omega_1$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $A$，圆 $\omega_2$ 过点 $P$ 且与圆 $\omega$ 内切于点 $B$．圆 $\omega_1$ 和圆 $\omega_2$ 相交于点 $P,Q$，直线 $PQ$ 交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $AP=5$，$PB=3$，$XY=11$，且 $PQ^2$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．
如果 $n$ 能被 $k$ 整除且 $n$ 恰好有 $k$ 个正约数，则称 $n$ 为 $k$ 性质数．例如 $18$ 能被 $6$ 整除，且 $18$ 恰好有 $1,2,3,6,9,18$ 共 $6$ 个约数，因此 $18$ 为 $6$ 性质数．设 $S$ 为不超过 $2019$ 的所有 $20$ 性质数之和，则 $\dfrac{S}{20}=$________．
关于 $x$ 的三次方程 $x^{3} - 15x^{2} + kx - 1105=0$ 的三个复根在复平面上的对应点共线，求正整数 $k$ 的值．
