如图 $1$，在平面直角坐标系中，$AC=3$，过点 $A$ 作 $AB\perp x$ 轴于点 $B$，$AC\perp y$ 轴于点 $C$，连接 $BC$，$M$ 是 $OB$ 上一点，$\angle BCM=\angle BCA=30^\circ$．
1、求点 $A,M$ 的坐标．
2、如图 $2$，过 $M$ 作 $MN\parallel BC$，若 $BC$ 上有一动点 $E$，过点 $E$ 作 $EF\perp MN$，垂足为 $F$，连接 $AE,FC$，求 $AE+EF+FC$ 的最小值．
3、如图 $3$，将 $\triangle ABC$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转，记旋转后的 $\triangle ABC$ 为 $\triangle A'B'C'$．当射线 $CA'$ 和 $CB'$ 都与 $x$ 轴相交时，设交点分别为 $G,H$．在整个旋转过程中，$\triangle GBC$ 能否为等腰三角形，若存在，请直接写出此时 $\dfrac{HG}{HC}$ 的值；若不存在，请说明理由．
如图，$\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC=\alpha$，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且使得 $\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{\alpha}2-30^\circ$，则 $\angle ACD$ 的度数为_______．
解实数方程：\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，圆 $O_1$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，圆 $O$ 是四边形 $ABC_1D_1$ 的外接圆．设 $P,Q$ 分别为圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 上的动点，则线段 $PQ$ 的最小值为_______．
古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$，直角边 $AB,AC$．若以 $AB,AC$ 为直径的两个半圆的弧长总长度为 $2\pi$，则以斜边 $BC$ 为直径的半圆面积的最小值为_______．
已知实数 $a,b$ 满足 $\sqrt{1-\dfrac{a^2}2}+\sqrt{1-\dfrac{b^2}3}=\dfrac 32$，则 $ab$ 的最大值为_______．
已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=60^\circ$，$AC=4$，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AC,AB$ 相切，设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$，且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______．
求所有的函数 $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$，使得对于任意实数 $x,y$，均有\[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]
求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，使得对于任意实数 $x,y$ 有\[ f(2f(x) +f(y)) =2x +f(y).\]
求所有的函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对所有的 $x, y \in \mathbb{R}$ 均有\[(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y) f(x+y).\]
