如果 $n$ 能被 $k$ 整除且 $n$ 恰好有 $k$ 个正约数，则称 $n$ 为 $k$ 性质数．例如 $18$ 能被 $6$ 整除，且 $18$ 恰好有 $1,2,3,6,9,18$ 共 $6$ 个约数，因此 $18$ 为 $6$ 性质数．设 $S$ 为不超过 $2019$ 的所有 $20$ 性质数之和，则 $\dfrac{S}{20}=$________．
答案 $472$．
解析 由于 $20$ 性质数有 $20$ 个约数，而 $20=4\cdot 5=2\cdot 10= 2\cdot 2\cdot 5$，从而 $n$ 可能的形式分别为 $p^3q^4,pq^9,pqr^4$，其中 $ p, q, r $ 是不同的质数．
情形一 $ n=p^3q^4 $．此时只可能为 $ (p, q) = (2, 5) $，$ n=2000 $．
情形二 $ n=pq^9 $．此时最小 $ n $ 为 $ (p, q) = (5, 2) $ 时对应的 $ 2560 $，不符合题意．
情形三 $ n=pqr^4 $．此时 $ r=2 $，且 $ p, q $ 中必然有一个为 $ 5 $，剩下一个是不超过 $ \dfrac{2019}{2^4\cdot 5}=25. \cdots $ 且不为 $ 2, 5 $ 的质数，可能为 $ 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23 $． 因此所求 $ 20$ 性质数之和为\[S=20(100+4(3+7+11+13+17+19+23)=20 \cdot 472,\]因此所求 $\dfrac{S}{20}=472$．