设 $x,y,z>1$，且 $\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z=2$，求证：\[8(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 1.\]
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每日一题[2344]解方程
已知 $a$ 为实数，解关于 $x$ 的方程\[\sqrt{{\log_a}\sqrt[4]{ax}+{\log_x}\sqrt[4]{ax}}+\sqrt{{\log_a}\sqrt[4]{\dfrac xa}+{\log_x}\sqrt[4]{\dfrac ax}}=a.\]
每日一题[2343]合理拆分
已知 $abcd=1$，求证：\[\begin{vmatrix}a^2+\dfrac 1{a^2}&a&\dfrac 1a&1\\ b^2+\dfrac1{b^2}&b&\dfrac 1b&1\\ c^2+\dfrac1{c^2}&c&\dfrac 1c&1\\ d^2+\dfrac1{d^2}&d&\dfrac 1d&1\end{vmatrix}=0.\]
每日一题[2342]切线条数
已知函数 $f(x)=x^3+mx^2+(m-1)x+1$ 在 $x=-1$ 处取得极值．
1、求 $m$ 的值．
2、若过 $(1,t)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线，求实数 $t$ 的取值范围．
每日一题[2341]入不敷出
设 $a_n=\dfrac{10}{1}\cdot \dfrac{11}{3}\cdots\dfrac{n+9}{2n-1}$，求证：数列 $\{a_n\}$ 有极限，并求出该极限．
每日一题[2339]三角与几何
如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在边 $AB,BC$ 上，等腰三角形 $DEF$ 的底边 $DE$ 上的高为 $FG$ 且 $DE=FG$．若 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 的面积均为 $20$，则 $\triangle BEF$ 的面积为_______．
每日一题[2338]消参定函
设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$ _______．
每日一题[2337]正反两难
在长 $400$ 米的环形跑道，$A,B$ 两点相距 $100$ 米，甲、乙两人分别从 $A,B$ 点出发按逆时针方向跑步，甲的速度为 $5$ 米每秒，乙的速度为 $4$ 米每秒，每人每跑 $100$ 米都要停下来休息 $10$ 秒，那么甲追上乙需要多少秒？