关于 $x$ 的三次方程 $x^{3} - 15x^{2} + kx - 1105=0$ 的三个复根在复平面上的对应点共线，求正整数 $k$ 的值．
答案 $271$．
解析 三次方程有三个实根或者一个实根两个互相共轭的复数．
情形一 三次方程有三个实根．此时\[k=-x^2+15x+\dfrac{1105}x,\]当 $x<0$ 时，右侧为负实数；当 $x>0$ 时，右侧单调递减，因此不存在正整数 $k$，使得该方程有三个实根．
情形二 三次方程有一个实根和两个互相共轭的复数．由于这三个复根在复平面上的对应点共线，因此这三个复数形如 $x,x+y{\rm i},x-{\rm i}$，根据韦达定理，有\[\begin{cases} x+(x+y{\rm i})+(x-y{\rm i})=15,\\ x(x+y{\rm i})+(x+y{\rm i})(x-y{\rm i})+(x-y{\rm i})x=k,\\ x(x+y{\rm i})(x-y{\rm i})=1105,\end{cases}\iff \begin{cases} x=5,\\ y=\pm 16,\\ k=271.\end{cases}\]
综上所述，正整数 $k$ 的值为 $271$．