每日一题[2176]层层分解

已知所有项之和为 $360$ 的递增有限正整数数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足每一项都能整除紧接其后的一项(我们认为单独的一个数 $360$ 也是符合条件的数列),则这样的数列的个数为 _______.

答案    $47$.

解析    根据题意,$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 与 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 一一对应,其中 $a_1=k_1$,且\[a_i=k_1k_2\cdots k_i.\]

情形一     $n=1$.此时符合题意的只有 $360$.

情形二     $n=2$.此时 $k_2=\dfrac{360}{k_1}-1$,因此\[ k_1=1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,\]共计 $22$ 个.

情形三     $n\geqslant 3$.此时 $\dfrac{360}{k_1}-1$ 仍可以继续分解.对应的进行一轮分解,有\[(3,7,16),(3,17,6),\\ (8,2,21),(8,4,10),(8,11,3),\\ (9,3,12),(9,13,2),\\ (10,5,6),(10,7,4)\\ (24,2,6),\\ (36,3,2),\\ (40,2,3),\]共计 $12$ 个.然后再进行分解,有\[(3,7,2,7),(3,7,4,3),(3,17,2,2),\\ (8,2,3,6),(8,2,3,7,2),(8,4,2,4),\\ (9,3,2,5),(9,3,3,3),(9,3,4,2),\\ (10,5,2,2),\\ (24,2,2,2),\]共计 $11$ 个.然后再进行分解,有\[(8,2,3,2,2),\]共计 $1$ 个.

因此所求数列数为 $1+22+12+11+1=47$.

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每日一题[2176]层层分解》有1条回应

  1. louxin2020说:

    是不是还得考虑首项为负数的情况?比如数列-1,361和-1,19,342等,这样的话结果就更多了!

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