每日一题[2173]三角形式

已知多项式 $f(z)=az^{2018}+bz^{2017}+cz^{2016}$ 的系数为不超过 $2019$ 的实数,且\[f\left(\dfrac{1+\sqrt{3} {\rm i}}{2}\right)=2015+2019 \sqrt{3}{\rm i},\]则 $f(1)=$ _______.

答案    $053$.

解析    设 $\omega=\dfrac{1+\sqrt 3{\rm i}}2=\left(\dfrac{\pi}3:1\right)$,则\[f(\omega)=a\omega^{2018}+b\omega^{2017}+c\omega^{2016}=a\omega^2+b\omega+c,\]因此\[a\cdot \dfrac{-1+\sqrt 3{\rm i}}2+b\cdot \dfrac{1+\sqrt 3{\rm i}}2+c=2015+2019\sqrt 3{\rm i},\]即\[\begin{cases} a,b,c\leqslant 2019,\\ \dfrac 12(-a+b+2c)=2015,\\ \dfrac 12(a+b)=2019,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2019,\\ b=2019,\\ c=2015,\end{cases}\]因此\[f(1)=a+b+c=6053.\]

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