已知集合 $P=\left\{(x, y) \mid (x-\cos \theta)^{2}+(y-\sin \theta)^{2}=4,0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right\}$．由集合 $P$ 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．
给出下列结论：
①“水滴”图形与 $y$ 轴相交，最高点记为 $A$，则点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$；
② 在集合 $P$ 中任取一点 $M$，则 $ M $ 到原点的距离的最大值为 $ 3$；
③ 阴影部分与 $y$ 轴相交，最高点和最低点分别记为 $C, D$，则 $|C D|=3+\sqrt{3}$；
④ 白色“水滴”图形的面积是 $\dfrac{11}{6} \pi-\sqrt{3}$．
其中正确的有_______．
已知平面直角坐标系下直线 $l$ 过点 $D_0(0,3)$ 且斜率为 $3$，点 $D$ 在直线 $l$ 上运动．若以 $D(a,b)$ 为圆心，以 $\lambda\left(\dfrac 13a+b\right)$ 为半径的圆与曲线 $xy=6$ 的公共点个数不超过 $2$，则 $\lambda$ 的最大值为______．
设 $D(n)$ 是将正整数 $n$ 写成形如\[n=f_1\cdot f_2\cdots f_k\]的写法数，其中 $k\geqslant 1$，$f_i$（$i=1,2,\cdots,k$）是大于 $1$ 的整数，且改变这些因子的顺序视为不同的写法，如 $6=6,2\cdot 3,3\cdot 2$，因此 $D(6)=3$，则 $D(96)=$（ ）
A．$112$
B．$128$
C．$144$
D．$172$
E．$184$
已知函数 $f(x)=\sqrt{ax^2-ax+2}$，$g(x)=ax-a+2$，若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象恰有一个公共点，则 $a$ 的取值范围是_______．
已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，经过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于不同的两点 $A,B$，点 $O$ 为坐标原点，直线 $OA$ 交抛物线的准线于点 $C$．
1、证明：直线 $BC\parallel x$ 轴．
2、若点 $Q$ 是线段 $AB$ 上的点，且 $\dfrac{2}{|FQ|^2}=\dfrac{1}{|FA|^2}+\dfrac{1}{|FB|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$．若存在 $x_1\in (0,+\infty)$，$x_2\in\mathbb R$，使得 $f(x_1)=g(x_2)=k$（$k<0$）成立，则 $\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2{\rm e}^k$ 的最大值为（ ）
A．${\rm e}^2$
B．${\rm e}$
C．$\dfrac4{{\rm e}^2}$
D．$\dfrac1{{\rm e}^2}$
已知函数 $f(x)=a(\ln x-x^2)-(a^2-2)x$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若存在实数 $x_1,x_2$，使 $f(x_1)\cdot f(x_2)<0$，求实数 $a$ 的范围．
设 $a$ 是实数，关于 $z$ 的方程 $\left(z^2-2z+5\right)\left(z^2+2az+1\right)=0$ 有 $4$ 个互不相等的根，它们在复平面上对应的 $4$ 个点共圆，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
边长为 $2$ 的正方形，经如图所示的方式剪裁后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为_______．
如图所示，分别作正四面体 $P-ABC$ 的平行于四个面的截面，使得 $P-ABC$ 的四个面都被截成正六边形，截去 $4$ 个小四面体后得到的多面体记为 $G$，则四面体 $P-ABC$ 与多面体 $G$ 的表面积比为_______；体积比为_______．
