每日一题[1972]分拆

设 $D(n)$ 是将正整数 $n$ 写成形如\[n=f_1\cdot f_2\cdots f_k\]的写法数,其中 $k\geqslant 1$,$f_i$($i=1,2,\cdots,k$)是大于 $1$ 的整数,且改变这些因子的顺序视为不同的写法,如 $6=6,2\cdot 3,3\cdot 2$,因此 $D(6)=3$,则 $D(96)=$(       )

A.$112$

B.$128$

C.$144$

D.$172$

E.$184$

答案    A.

解析    考虑到 $96=2^5\cdot 3$,因此按 $k=1,2,3,4,5,6$ 分类.可以先将 $2$ 安排好,当 $k=1,2,\cdots,6$ 时,分别有 $\mathop{\rm C}\nolimits_5^{k-1}$ 种方法,然后在某个位置乘以 $3$ 即得,因此所求写法数为\[\sum_{k=1}^6\left(k\mathop{\rm C}\nolimits_5^{k-1}\right)=\left(x(1+x)^5\right)'\Big|_{x=1}=2^5+5\cdot 2^4=112.\]

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