每日一题[1969]同构函数

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x$,$g(x)=x{\rm e}^{-x}$.若存在 $x_1\in (0,+\infty)$,$x_2\in\mathbb R$,使得 $f(x_1)=g(x_2)=k$($k<0$)成立,则 $\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2{\rm e}^k$ 的最大值为(       )

A.${\rm e}^2$

B.${\rm e}$

C.$\dfrac4{{\rm e}^2}$

D.$\dfrac1{{\rm e}^2}$

答案    C.

解析    根据题意,有 $x_2<0<x_1<1$,且注意到 $f\left({\rm e}^x\right)=g(x)$,于是有 $x_1={\rm e}^{x_2}$,因此\[\ln \left(\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2{\rm e}^k\right)=k+2\left(\ln (-x_2)-\ln x_1\right)=x_2{\rm e}^{-x_2}+2\left(\ln (-x_2)-x_2\right),\]记 $r(x)=-x{\rm e}^x+2(\ln x+x)$,则其导函数\[r'(x)=\dfrac{\left(2-{\rm e}^xx\right)(x+1)}{x},\]于是函数 $r(x)$ 在 $x{\rm e}^x=2$ 时,也即 $\dfrac{-x_2}{{\rm e}^{-x_2}}=2$ 时取得极大值,亦为最大值.此时有 $x_2{\rm e}^{-x_2}=-2$,$\ln(-x_2)-x_2=\ln 2$,因此\[x_2{\rm e}^{-x_2}+2\left(\ln (-x_2)-x_2\right)=-2+2\ln 2,\]所以所求最大值为 ${\rm e}^{-2+2\ln 2}=\dfrac{4}{{\rm e}^2}$.

备注    也可以利用 $\dfrac{\ln x_1}{x_1}=k$,$x_2=\ln x_1$,从而 $\dfrac{x_2}{x_1}=k$.

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