每日一题[1967]复平面上的共圆

设 $a$ 是实数,关于 $z$ 的方程 $\left(z^2-2z+5\right)\left(z^2+2az+1\right)=0$ 有 $4$ 个互不相等的根,它们在复平面上对应的 $4$ 个点共圆,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $\{-3\}\cup(-1,1)$.

解析    设 $z^2-2z+5=0$ 的两根为 $z_1=1+2{\rm i}$,$z_2=1-2{\rm i}$,$z^2+2az+1=0$ 的两根为 $z_3,z_4$,其判别式\[\Delta=4(a^2-1)\ne 0,\]设 $z_i$ 在复平面上的对应点分别为 $Z_i$($i=1,2,3,4$).

情形一    $\Delta>0$ 即 $a<-1$ 或 $a>1$.此时 $z_3,z_4$ 为实数.$Z_1Z_2$ 与 $Z_3Z_4$ 交于点 $(1,0)$,于是根据圆幂定理的逆定理,有\[(z_3-1)(z_4-1)=-4\iff a=-3.\]

情形二     $\Delta<0$ 即 $-1<a<1$.此时 $Z_1,Z_2$ 和 $Z_3,Z_4$ 分别关于实轴对称,因此 $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ 构成等腰梯形或矩形,必然共圆.

综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\{-3\}\cup(-1,1)$.

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