每日一题[2326]函数方程

求所有的函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,使得对所有的 $x, y \in \mathbb{R}$ 均有\[(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y) f(x+y).\]

答案    $f(x)=\dfrac{f(1)-f(-1)}2\cdot x+\dfrac{f(1)+f(-1)}2\cdot x^2$.

解析    根据题意,设\[a=\dfrac{f(1)-f(-1)}2,\quad b=\dfrac{f(1)+f(-1)}2,\]且\[g(x)=f(x)-ax-bx^2,\]则 $g(1)=g(-1)=0$,且\[\begin{split} (x+y)\big(g(x)-g(y)\big)&=(x+y)\big(f(x)-f(y)\big)-a(x+y)(x-y)-b(x+y)^2(x-y)\\ &=(x-y)\big(f(x+y)-a(x+y)-b(x+y)^2\big)\\ &=(x-y)g(x+y),\end{split}\] 在上式中分别令 $y=1$ 和 $y=-1$,可得\[\begin{cases} (x+1)g(x)=(x-1)g(x+1),\\ (x-1)g(x)=(x+1)g(x-1),\end{cases}\]在第二个式子中,令 $x\to x+1$,可得\[xg(x+1)=(x+2)g(x),\]因此\[x(x+1)g(x)=(x-1)\cdot xg(x+1)=(x-1)(x+2)g(x)\implies g(x)=0,\]从而 $f(x)=ax+bx^2$,即\[f(x)=\dfrac{f(1)-f(-1)}2\cdot x+\dfrac{f(1)+f(-1)}2\cdot x^2.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论