每日一题[2327]函数方程

求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$,使得对于任意实数 $x,y$ 有\[ f(2f(x) +f(y)) =2x +f(y).\]

答案    $f(x)=x$.

解析    根据题意,有\[\begin{array}{c|c|c}\hline p_0&&f(2f(x)+f(y))=2x+f(y)\\ \hline p_1&p_0,y\to x&f(3f(x))=f(x)+2x \\ \hline p_2&p_1,x\to 3f(x)&f(3f(3f(x)))=f(3f(x))+6f(x)=7f(x)+2x\\ \hline p_3&p_2,x\to 0&f(3f(3f(0)))=7f(0)\implies f(3f(0))=7f(0)\implies f(0)=7f(0)\implies f(0)=0 \\ \hline p_4&p_0,x\to0&f(f(y))=f(y)\\ \hline p_5&p_0,x\to f(x)&f(2x+f(y))=2f(x)+f(y)\\ \hline \end{array}\] 而根据 $p_0$,$2x+f(y)$ 在函数 $f$ 的值域中,因此根据 $p_4$,有\[f(2x+f(y))=2x+f(y),\]从而结合 $p_5$,可得 $f(x)=x$.

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每日一题[2327]函数方程》有1条回应

  1. Phantom说:

    p1可以直接证明单射,然后由单射得f(0)=0,再原式代入x=0由单射即有f(y)=y

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