已知实数 $a,b$ 满足 $\sqrt{1-\dfrac{a^2}2}+\sqrt{1-\dfrac{b^2}3}=\dfrac 32$，则 $ab$ 的最大值为_______．
答案 $\dfrac{7\sqrt 6}{16}$．
解析 设 $\sqrt{1-\dfrac{a^2}2}=m$，$\sqrt{1-\dfrac{b^2}3}=n$，其中 $m+n=\dfrac 32$，$m,n\in [0,1]$，则\[\begin{split} a^2b^2&=2(1-m^2)\cdot 3(1-n^2)\\ &=6(1+m)(1-m)(1+n)(1-n)\\ &=6\big(1+m+n+mn\big)\big(1-(m+n)+mn\big)\\ &=6\big((1+mn)^2-(m+n)^2\big)\\ &\leqslant 6\left(\left(1+\left(\dfrac{m+n}2\right)^2\right)^2-(m+n)^2\right) ,\end{split}\]等号当 $m=n=\dfrac 34$ 时取得，因此 $ab$ 的最大值为 $\dfrac{7\sqrt 6}{16}$．