平面直角坐标系中有 $16$ 个格点 $(i,j)$，其中 $0\leqslant i\leqslant 3$，$0\leqslant j\leqslant 3$．若在这 $16$ 个点中任取 $n$ 个点，这 $n$ 个点中总存在 $4$ 个点，这 $4$ 个点是一个正方形的顶点，求 $n$ 的最小值．
答案 $11$．
解析 $n$ 的最小值为 $11$． [[case]]构造[[/case]]存在 $10$ 点，其中任意 $4$ 个点不能构成正方形．如图，
取点 $(0,0)$，$(1,0)$，$(2,0)$，$(2,1)$，$(3,1)$，$(0,2)$，$(3,2)$，$(0,3)$，$(1,3)$，$(3,3)$，则其中任意 $4$ 个顶点不能构成正方形．
任意 $11$ 点中，一定存在 $4$ 个点构成正方形．下面证明两个引理．
引理一 在 $9$ 个格点 $(i,j)$（$0\leqslant i\leqslant 2$，$0\leqslant j\leqslant 2$）中，任取 $7$ 个点，这 $7$ 个点中总存在 $4$ 个点构成正方形．
引理一的证明 如果结论不成立，即存在 $7$ 个点，任意 $4$ 点不为一个正方形的顶点，由于点 $(0,0)$，$(2,0)$，$(2,2)$，$(0,2)$ 构成正方形，故这 $4$ 个点中至少有一点应去掉，不妨去掉 $(2,2)$，而点 $(1,0)$，$(1,1)$，$(2,1)$，$(2,0)$ 及 $(0,1)$，$(0,2)$，$(1,2)$，$(1,1)$ 分别构成正方形，故 $(1,1)$ 应去掉，而余下的 $7$ 个点中，点 $(1,0)$，$(2,1)$，$(1,2)$，$(0,1)$ 构成正方形，矛盾，因此引理一成立．
引理二 在 $12$ 个格点 $(i,j)$（$0\leqslant i\leqslant 3$，$0\leqslant j\leqslant 2$）中，任取 $9$ 个点，这 $9$ 个点中总存在 $4$ 个点构成正方形．
引理二的证明 任取 $9$ 点，即任意去掉 $3$ 点．如果去掉 $3$ 点中至少有一点位于第 $1$ 列，或第 $4$ 列，则由引理一可知结论陈立刚．如果去掉的 $3$ 个点位于同一列（第 $2$ 列，第 $3$ 列），则结论显然成立．再由对称性可知去掉 $3$ 点可看作第 $2$ 列去掉 $1$ 点，第 $3$ 列去掉 $2$ 点，要使第 $1,2$ 列不存在正方形的顶点，则只能去掉点 $(1,1)$，则余下的点 $(1,0)$，$(1,2)$，$(2,0)$，$(2,2)$ 构成一个正方形的四个顶点，故引理二得证．
回到本题 如果边列或边行珊共有去掉 $2$ 个点，这由引理二可知结论成立．假设每一边列与边行上最多去掉 $1$ 点，由于点 $(0,0)$，$(3,0)$，$(3,3)$，$(0,3)$ 构成正方形，故这 $4$ 个点中至少去掉一点，由对称性不妨去掉点 $(3,3)$．又由点 $(1,0)$，$(3,1)$，$(2,3)$，$(0,2)$ 及点 $(2,0)$，$(3,2)$，$(1,3)$，$(0,1)$ 分别构成正方形，因此分别去掉 $1$ 点，且不于点 $(3,3)$ 同行或同列，故只能去掉点 $(1,0)$ 与 $(0,1)$，或 $(2,0)$ 与 $(0,2)$．
若去掉点 $(1,0)$ 与 $(0,1)$，由点 $(0,2)$，$(0,3)$，$(3,1)$，$(2,1)$ 及点 $(2,0)$，$(3,0)$，$(3,1)$，$(2,1)$ 构成正方形，故分别去掉一点，且在内部，所以去掉点 $(1,2)$ 与 $(2,1)$．此时余下的 $11$ 个点中，点 $(1,1)$，$(2,0)$，$(3,1)$，$(2,2)$ 构成正方形，故结论成立．
类似可以证明去掉点 $(2,0)$ 与 $(0,2)$ 的情形．
综上所述，$n$ 的最小值为 $11$．