平面区域 $S=\left\{(x,y)\mid x,y\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right],\sin^2x-\sin x\cdot \sin y+\sin^2y\leqslant \dfrac 34\right\}$ 的面积为_______．
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每日一题[2538]观察形式
已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\{a_n\},\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 均是公差为 $d$ 的等差数列，则 $S_n=$_______．
每日一题[2536]十字路口
方程组 $\begin{cases} y={\rm e}^{|x|}-{\rm e},\\ \big||x|-|y|\big|=1\end{cases}$ 的解的组数是（ ）
A．$5$
B．$6$
C．$7$
D．$8$
每日一题[2535]化齐次联立
如图所示，设 $k>0$ 且 $k\ne 1$，直线 $l:y=kx+1$ 与 $l_1:y=k_1x+1$ 关于直线 $y=x+1$ 对称，直线 $l$ 与 $l_1$ 分别交椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 于点 $A,M$ 和 $A,N$．
1、求 $k\cdot k_1$ 的值．
2、求证：对任意的实数 $k$，直线 $MN$ 恒过定点．
每日一题[2534]极端情形
设 $X$ 是有限集，$t$ 为正整数，$F$ 是包含 $t$ 个子集的子集族：$F=\{A_1,A_2,\cdots,A_t\}$．如果 $F$ 中的部分子集构成的集族 $S$ 满足：对 $S$ 中任意两个不相等的集合 $A,B$，$A\subsetneqq B$ 和 $B\subsetneqq A$ 均不成立，则称 $S$ 为反链．设 $S_1$ 为包含集合最多的反链，$S_2$ 是任意反链．证明：存在 $S_2$ 到 $S_1$ 的单射 $f$，满足对任意 $A\in S_2$，$f(A)\subsetneqq A$ 或 $A\subsetneqq f(A)$ 成立．
每日一题[2533]阿贝尔求和
设 $a_i,b_i>0$（$1\leqslant i\leqslant n+1$），$b_{i+1}-b_i\geqslant \delta >0$（$i=1,2,\cdots,n$，$\delta$ 为常数）．若 $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i=1$，证明：\[\sum_{i=1}^n\dfrac{\sqrt[i]{a_1a_2\cdots a_ib_1b_2\cdots b_i}}{b_{i+1}b_i}<\dfrac1{\delta}.\]
每日一题[2532]一石二鸟
如图，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}4+y^2=1$，抛物线 $C_2:x^2=2py$（$p>0$），设 $C_1,C_2$ 相交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点．
1、若 $\triangle ABO$ 的外心在椭圆上，求实数 $p$ 的值．
2、若 $\triangle ABO$ 的外接圆经过点 $N\left(0,\dfrac{13}2\right)$，求实数 $p$ 的值．