在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $F_1\left(-\sqrt{17},0\right)$，$F_2\left(\sqrt{17},0\right)$，点 $M$ 满足 $|MF_1|-|MF_2|=2$．记 $M$ 的轨迹为 $C$．
1、求 $C$ 的方程．
2、设点 $T$ 在直线 $x=\dfrac{1}{2}$ 上，过 $T$ 的两条直线分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点和 $P,Q$ 两点，且\[|TA|\cdot |TB|=|TP|\cdot |TQ|,\]求直线 $AB$ 的斜率与直线 $PQ$ 的斜率之和．
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为 $20 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$ 的长方形纸，对折 $1$ 次共可以得到 $10 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$，$20 {\rm dm}\times 6 {\rm dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_1=240 {\rm dm}^2$，对折 $2$ 次共可以得到 $5 {\rm dm}\times 12 {\rm dm}$，$10 {\rm dm}\times 6 {\rm dm}$，$20 {\rm dm}\times 3 {\rm dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_2=180 {\rm dm}^2$，以此类推．则对折 $4$ 次共可以得到不同规格图形的种数为_______；如果对折 $n$ 次，那么 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}S_k$ =_______${\rm dm}^2$．
在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$，其中 $\lambda \in[0,1]$，$\mu \in[0,1]$，则（ ）
A．当 $\lambda=1$ 时，$\triangle A B_{1} P$ 的周长为定值
B．当 $\mu=1$ 时，三棱雉 $P-A_{1} B C$ 的体积为定值
C．当 $\lambda=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1} P \perp B P$
D．当 $\mu=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1} B \perp$ 平面 $A B_{1} P$
有 $6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中有放回地随机取两次，每次取 $1$ 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 $1$”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 $2$”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 $8$”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 $7$”，则（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）
A．$\mathrm{e}^{b}<a$
B．$\mathrm{e}^{a}<b$
C．$0<a<\mathrm{e}^{b}$
D．$0<b<\mathrm{e}^{a}$
已知函数 $f(x)=|x-2|$，$g(x)=|2x+3|-|2x-1|$．
1、画出 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像．
2、若 $f(x+a)\geqslant g(x)$，求 $a$ 的取值范围．
抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，直线 $l:x=1$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $OP\perp OQ$．已知点 $M(2,0)$，且圆 $M$ 与 $l$ 相切．
1、求抛物线 $C$ 和圆 $M$ 的方程．
2、设 $A_1,A_2,A_3$ 是 $C$ 上的三个点，直线 $A_1A_2,A_1A_3$ 均与圆 $M$ 相切，判断直线 $A_2A_3$ 与圆 $M$ 的位置关系，并说明理由．
已知函数 $f(x)=2\cos (\omega x+\varphi)$ 的部分图象如图所示，则满足条件\[\left(f(x)-f\left(-\frac{7\pi}{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)>0\]的最小正整数 $x=$_______．
已知实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=1$，且\[3\left(x+\dfrac 1x\right)=4\left(y+\dfrac 1y\right)=5\left(z+\dfrac 1z\right)=t,\]则 $t=$ _______．
已知抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）的焦点为 $F$，且 $F$ 与圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上点的距离的最小值为 $4$．
1、求 $p$．
2、若点 $P$ 在 $M$ 上，$PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值．
