每日一题[2531]映射计数

在复平面上，任取方程 $z^{100}-1=0$ 的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为_______．

答案    $39200$．

解析    考虑从任何一个点出发，逆时针方向通过的下一个点恰为钝角顶点的三角形，则称该出发点为这个钝角三角形的起点．容易得到不同的起点对应的钝角三角形不同，直接计算每个起点对应几个钝角三角形即可．通过统计每个钝角三角形从钝角顶点出发顺时针方向的下一个顶点处对应的钝角三角形个数直接计数．如图（以$n=15$为例），我们规定以逆时针方向为正方向．

若某个三角形在正方向意义下的“起点”为 $A_1$，则“该三角形为钝角三角形”的充要条件为“其余两个顶点选自于 $A_2,A_3,\cdots,A_{\left[\frac{n-1}2\right]}$ 这 $\left[\dfrac{n-1}2\right]$ 个点”．故以 $A_1$ 为“起点”的钝角三角形共有 $\mathop{\rm C}\nolimits_{7}^2=21$ 个．因此所有的钝角三角形的个数为 $$n\cdot \dbinom{\left[\frac{n-1}2\right]}{2}=\dfrac 12n\cdot \left[\dfrac{n-1}2\right]\cdot \left(\left[\dfrac{n-1}2\right]-1\right)=\begin{cases} \dfrac 18n(n-1)(n-2),&2\nmid n,\\ \dfrac 18n(n-2)(n-4),&2\mid n．\end{cases}$$ 在此基础上可得 $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline n&\text{钝角三角形}&\text{直角三角形}&\text{锐角三角形}\\ \hline \text{奇数}&\dfrac 18n(n-1)(n-3)&0&\dfrac{1}{24}n(n-1)(n+1)\\ \hline \text{偶数}&\dfrac 18n(n-2)(n-4)&\dfrac 12n(n-2)&\dfrac{1}{24}n(n-2)(n-4)\\ \hline 2k+1&\dfrac 12k(k-1)(2k+1)&0&\dfrac 16k(k+1)(2k+1)\\ \hline 2k&k(k-1)(k-2)&2k(k-1)&\dfrac13k(k-1)(k-2)\\ \hline \end{array}$$

代入 $k=50$ 即得．