已知 $a>0$，函数 $f(x)=ax-x{\rm e}^x$．
1、求曲线 $f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程．
2、证明：$f(x)$ 存在唯一的极值点．
3、若存在 $a$，使得 $f(x)\leqslant a+b$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a-{\rm e}^x(x+1),\]于是所求切线方程为 $y=f(0)+f'(0)x$ 即 $y=(a-1)x$．
2、即 $f'(x)$ 有唯一变号零点，函数 $f'(x)$ 的导函数\[f''(x)=-{\rm e}^x(x+2),\]当 $x\leqslant -1$ 时，$f'(x)\geqslant a>0$，没有零点；当 $x>-1$ 时，函数 $f'(x)$ 单调递增，注意到\[f'(-1)=a>0,\quad f'(a)=a-{\rm e}^a(a+1)<a-(a+1)=-1<0,\]因此函数 $f'(x)$ 在 $(-1,a)$ 上有唯一变号零点，也即 $f(x)$ 存在唯一的极值点．
3、根据题意，有\[\exists a\in\mathbb R,\left(\forall x\in\mathbb R,f(x)\leqslant a+b\right),\]考虑到\[\forall x\in\mathbb R,f(x)\leqslant a+b\iff \forall x\in\mathbb R,b\geqslant a(x-1)-x{\rm e}^x,\]设 $g(x)=a(x-1)-x{\rm e}^x$，则其导函数\[g'(x)=a-{\rm e}^x(x+1),\]根据第 $(2)$ 小题的结果，$g'(x)$ 有唯一零点 $x_0$，满足\[a={\rm e}^{x_0}(x_0+1),\]其中 $x_0>-1$．因此 $g(x)$ 有最大值\[g(x_0)=a(x_0-1)-x_0{\rm e}^{x_0}={\rm e}^{x_0}\left(x_0^2-x_0-1\right),\]命题转化为\[\exists x_0>-1,b\geqslant{\rm e}^{x_0}\left(x_0^2-x_0-1\right),\]设 $r(x)={\rm e}^x(x^2-x-1)$，则其导函数\[r'(x)={\rm e}^x(x+2)(x-1),\]于是当 $x=1$ 时，$r(x)$ 取得极小值亦为最小值 $r(1)=-{\rm e}$，因此实数 $b$ 的取值范围是 $[-{\rm e},+\infty)$．