每日一题[2401]等张角线

在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $BC$ 的中点,$\angle CAD=15^\circ$,则 $\angle ABC$ 的最大值为(       )

A.$120^\circ$

B.$105^\circ$

C.$90^\circ$

D.$60^\circ$

答案    B.

解析    如图,$A$ 在优弧 $DC$ 上运动,弧的圆心为 $O$,所对的圆心角为 $30^\circ$,当 $BA$ 与圆 $O$ 相切时 $\angle ABC$ 最大.

设 $BD=DC=1$,则\[BA^2=BD\cdot BC\implies BA=\sqrt 2,\]设 $\angle BAD=\angle DCA=x$,则在 $\triangle ABC$ 中应用正弦定理,有\[\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}\iff \dfrac{2}{\sin(x+15^\circ)}=\dfrac{\sqrt 2}{\sin x}\iff x=30^\circ,\]因此 $\angle ABC$ 的最大值为 $105^\circ$.

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