每日一题[2402]单位根

已知 $\omega =\cos\dfrac{\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{\pi}5$,则 $(x-\omega )(x-\omega ^3)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9)=$ (       )

A.$x^4+x^3+x^2+x+1$

B.$x^4-x^3+x^2-x+1$

C.$x^4-x^3-x^2+x+1$

D.$x^4+x^2+x^2-x-1$

答案    B.

解析    根据题意,$\omega ,\omega ^3,\omega ^5,\omega ^7,\omega ^9$ 是方程\[x^5=-1\]的五个复根.因此\[x^5+1=(x-\omega )(x-\omega ^3)(x+1)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9),\]从而\[(x-\omega )(x-\omega ^3)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9)=\dfrac{x^5+1}{x+1}=x^4-x^3+x^2-x+1.\]

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